Utilize o algoritmo de fatoração L D L^{\prime} para descobrir uma fatoração da forma A=L D L^{\prime} para as seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{rrrr}4 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 3 & -1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a fatoração da matriz simétrica
A=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 3 & -1 & 1\\\\ 1 & -1 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}
na forma A=L\,D\,L', onde L é triangular inferior com diagonal unitária e D é diagonal. Para isso usamos o algoritmo LDL', que itera em k=1,\dots,4 computando
D_k = a_{kk} - \sum_{j=1}^{k-1}L_{k j}^2\,D_j, \quad L_{i k} = \frac{1}{D_k}\Bigl(a_{i k}-\sum_{j=1}^{k-1}L_{i j}L_{k j}D_j\Bigr) \quad(i>k),
com L_{kk}=1.

Passo 2

Para k=1:
D_1 = a_{11} = 4,
e para i=2,3,4,
L_{i1} = \frac{a_{i1}}{D_1} \;\Longrightarrow\; L_{21} = \frac{1}{4},\; L_{31} = \frac{1}{4},\; L_{41} = \frac{1}{4}.

Passo 3

Para k=2:
D_2 = a_{22} - L_{21}^2\,D_1 = 3 - \Bigl(\tfrac14\Bigr)^2\cdot4 = \frac{11}{4}.
Para i=3,4:
L_{32} = \frac{a_{32}-L_{31}L_{21}D_1}{D_2} = \frac{-1 - \frac14\cdot\frac14\cdot4}{\frac{11}{4}} = -\frac{5}{11},
L_{42} = \frac{a_{42}-L_{41}L_{21}D_1}{D_2} = \frac{1 - \frac14\cdot\frac14\cdot4}{\frac{11}{4}} = \frac{3}{11}.

Passo 4

Para k=3:
D_3 = a_{33} - L_{31}^2D_1 - L_{32}^2D_2 = 2 - \frac14 - \frac{25}{44} = \frac{13}{11}.
Para i=4:
L_{43} = \frac{a_{43} - L_{41}L_{31}D_1 - L_{42}L_{32}D_2}{D_3} = \frac{0 - \bigl(-\tfrac1{11}\bigr)}{\tfrac{13}{11}} = \frac{1}{13}.

Passo 5

Para k=4:
D_4 = a_{44} - L_{41}^2D_1 - L_{42}^2D_2 - L_{43}^2D_3 = 2 - \frac14 - \frac{9}{44} - \frac{1}{143} = \frac{20}{13}.

Passo 6

Agregando tudo, a fatoração A=L\,D\,L' é dada por
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[6pt] \tfrac14 & 1 & 0 & 0\\[6pt] \tfrac14 & -\tfrac5{11} & 1 & 0\\[6pt] \tfrac14 & \tfrac3{11} & \tfrac1{13} & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \operatorname{diag}\!\bigl(4,\;\tfrac{11}{4},\;\tfrac{13}{11},\;\tfrac{20}{13}\bigr).]

Resposta

L e D acima satisfazem A=L\,D\,L'.

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