Utilize o algoritmo de fatoração L D L^{\prime} para descobrir uma fatoração da forma A=L D L^{\prime} para as seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{lll}4 & 2 & 2 \\\\ 2 & 6 & 2 \\\\ 2 & 2 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz simétrica positiva definida
A=\begin{pmatrix}4&2&2\\\ 2&6&2\\\ 2&2&5\end{pmatrix}
e pede a fatoração
A=L\,D\,L^{\prime},
onde L é triangular inferior com 1 na diagonal e D é diagonal. Vamos usar o algoritmo LDLᵀ: a cada passo escolhemos um pivô d_k, calculamos os multiplicadores l_{ik} e atualizamos as entradas da matriz residual (Schur complement).

Passo 2

No primeiro passo tomamos
d_{1}=a_{11}=4.
Os multiplicadores na primeira coluna são
l_{21}=\frac{a_{21}}{d_{1}}=\frac{2}{4}=\frac12, \quad l_{31}=\frac{a_{31}}{d_{1}}=\frac{2}{4}=\frac12.

Passo 3

Atualizando a submatriz 2\times2 restante, o segundo pivô é
d_{2}=a_{22}-l_{21}^{2}d_{1} =6-\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}\cdot4 =6-1=5.
O multiplicador na posição (3,2) vale
l_{32} =\frac{a_{32}-l_{31}l_{21}d_{1}}{d_{2}} =\frac{2-\tfrac12\cdot\tfrac12\cdot4}{5} =\frac{2-1}{5}=\frac15.

Passo 4

Por fim, o terceiro pivô sai pela atualização da entrada (3,3):
d_{3} =a_{33}-l_{31}^{2}d_{1}-l_{32}^{2}d_{2} =5-\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}\cdot4-\Bigl(\tfrac15\Bigr)^{2}\cdot5 =5-1-\frac{1}{5} =4-\frac{1}{5} =\frac{19}{5}.

Passo 5

Agora montamos as matrizes L e D:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \tfrac12 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & \tfrac15 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{19}{5} \end{pmatrix}.

Resposta

A=L\,D\,L^{\prime}, \quad L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \frac12 & 1 & 0\\\ \frac12 & \frac15 & 1 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & \frac{19}{5} \end{pmatrix}.

Exercícios de Livros Relacionados