Utilize o algoritmo da transformada rápida de Fourier para calcular o polinômio trigonométrico interpolador de grau quatro em
para as seguintes funções:
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos encontrar, em
, o polinômio trigonométrico interpolador de grau quatro para
O “grau quatro” significa que o polinômio terá a forma
totalizando
coeficientes reais. Para determiná-los usamos
pontos igualmente espaçados em
e aplicamos o algoritmo da FFT (transformada discreta de Fourier).
Passo 2
Escolhemos os
nós
Em cada nó avaliamos
Como
é exatamente uma combinação de
e
, veremos que todos os modos exceto
se anulam.
Passo 3
A transformada discreta de Fourier (via FFT) nos dá os coeficientes complexos
Desses, os coeficientes trigonométricos reais são
para
, e
Passo 4
Como
já é um polinômio trig. de grau
, suas amostras geram
e
, e todos os outros
. Logo
mas atenção: a forma padrão exige que
venha com coeficiente
e
com
. Como nós definimos o sinal de
de modo que
corresponda a
, na verdade obtemos
e para
,
Passo 5
Substituindo na forma geral do polinômio, temos
com
,
,
e todos os demais zero. Logo
Resposta
O polinômio trigonométrico interpolador de grau quatro de
em
é
isto é, exatamente a própria função, pois já é um trigonométrico de grau
.