Utilize a fatoração de Crout para sistemas tridiagonais para resolver os sistemas lineares a seguir.
\begin{aligned} 2 x_{1}-x_{2} & =3, \\\ -x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =-3, \\\ -x_{2}+2 x_{3} & =1 . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema
\begin{aligned} 2x_{1}-x_{2}&=3,\\\\ -\,x_{1}+2x_{2}-x_{3}&=-3,\\\\ -\,x_{2}+2x_{3}&=1 \end{aligned}
utilizando a fatoração de Crout para matrizes tridiagonais. A matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ -1 & 2 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}3\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix}.
Em Crout escrevemos A=LU com L lower triangular (com diagonais l_{ii}) e U upper triangular com u_{ii}=1. Depois resolvemos Ly=b e em seguida Ux=y.

Passo 2

Inicializamos pelo primeiro pivô:
l_{1,1}=a_{1,1}=2, \quad u_{1,2}=\frac{a_{1,2}}{l_{1,1}} =\frac{-1}{2} =-\tfrac12.

Passo 3

Agora a segunda linha da fatoração:
l_{2,1}=a_{2,1}=-1,
l_{2,2}=a_{2,2}-l_{2,1}\,u_{1,2} =2-(-1)\bigl(-\tfrac12\bigr) =2-\tfrac12 =\tfrac32,
u_{2,3}=\frac{a_{2,3}}{l_{2,2}} =\frac{-1}{\tfrac32} =-\tfrac23.

Passo 4

Por fim a terceira linha:
l_{3,2}=a_{3,2}=-1, \quad l_{3,3}=a_{3,3}-l_{3,2}\,u_{2,3} =2-(-1)\bigl(-\tfrac23\bigr) =2-\tfrac23 =\tfrac{4}{3}.
Logo
L=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ -1 & \tfrac32 & 0\\\\ 0 & -1 & \tfrac{4}{3} \end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac12 & 0\\\\ 0 & 1 & -\tfrac23\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Resolvendo Ly=b por substituição para y:
y_{1}=\frac{b_{1}}{l_{1,1}} =\frac{3}{2},\quad y_{2}=\frac{b_{2}-l_{2,1}y_{1}}{l_{2,2}} =\frac{-3-(-1)\cdot\frac{3}{2}}{\tfrac32} =\frac{-3+\tfrac32}{\tfrac32} =-1,
y_{3}=\frac{b_{3}-l_{3,2}y_{2}}{l_{3,3}} =\frac{1-(-1)\cdot(-1)}{\tfrac{4}{3}} =\frac{1-1}{\tfrac{4}{3}} =0.

Passo 6

Resolvendo Ux=y por retro‐substituição para x:
x_{3}=y_{3}=0, \quad x_{2}=y_{2}-u_{2,3}\,x_{3} =-1-(-\tfrac23)\cdot0 =-1,
x_{1}=y_{1}-u_{1,2}\,x_{2} =\tfrac{3}{2}-\bigl(-\tfrac12\bigr)\,(-1) =\tfrac{3}{2}-\tfrac12 =1.

Resposta

x_{1}=1,\;x_{2}=-1,\;x_{3}=0

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