Utilize o Teorema do círculo de Geršgorin para determinar limitantes para (a) os autovalores e (b) os raios espectrais das matrizes.
\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Geršgorin, que afirma que todo autovalor de uma matriz A=(a_{ij}) está contido na união dos discos
D_i = \{\,z\in\mathbb{C} : |z - a_{ii}|\le R_i\},
onde R_i = \sum_{j\ne i}|a_{ij}|. Vamos aplicar isso à matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 2

Calculamos para cada linha i o centro a_{ii} e o raio R_i:
linha 1: a_{11}=1, R_1=|0|+|0|=0
linha 2: a_{22}=0, R_2=|-1|+|1|=2
linha 3: a_{33}=2, R_3=|-1|+|-1|=2

Passo 3

Os discos de Geršgorin pelas linhas são
D_1: |z-1|\le0,\quad D_2: |z-0|\le2,\quad D_3: |z-2|\le2.
Logo todo autovalor \lambda de A satisfaz
\lambda\in \{1\}\;\cup\;\{z:|z|\le2\}\;\cup\;\{z:|z-2|\le2\}.

Passo 4

Um limite imediato para o raio espectral \rho(A)=\max|\lambda| vem de
\max_i\bigl(|a_{ii}|+R_i\bigr) =\max\{1+0,\;0+2,\;2+2\}=4.
Portanto, pela versão em linhas,
\rho(A)\le4.

Passo 5

Para obter um limite possivelmente melhor, aplicamos Geršgorin às colunas. Para cada coluna j temos centro a_{jj} e raio C_j=\sum_{i\ne j}|a_{ij}|:
coluna 1: a_{11}=1, C_1=|-1|+|-1|=2
coluna 2: a_{22}=0, C_2=|0|+|-1|=1
coluna 3: a_{33}=2, C_3=|0|+|1|=1

Passo 6

Os discos de Geršgorin pelas colunas são
D'_1: |z-1|\le2,\quad D'_2: |z-0|\le1,\quad D'_3: |z-2|\le1.
Dessa forma todo \lambda satisfaz também
\lambda\in \{z:|z-1|\le2\}\;\cup\;\{z:|z|\le1\}\;\cup\;\{z:|z-2|\le1\},
e o limite pelo maior raio-coluna é
\rho(A)\le\max_j\bigl(|a_{jj}|+C_j\bigr) =\max\{1+2,\;0+1,\;2+1\}=3.

Resposta

(a) Os autovalores estão contidos na união dos discos
|z-1|\le0,\quad|z|\le2,\quad|z-2|\le2.
(b) Os limites para o raio espectral são
\rho(A)\le4\quad\text{(pelas linhas)} \quad\text{e}\quad \rho(A)\le3\quad\text{(pelas colunas)},
sendo o melhor limite \rho(A)\le3.

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