Utilize o Teorema do círculo de Geršgorin para determinar limitantes para (a) os autovalores e (b) os raios espectrais das matrizes.
\left[\begin{array}{rrr}4 & -1 & 0 \\\\ -1 & 4 & -1 \\\\ -1 & -1 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Geršgorin na matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 0\\\\ -1 & 4 & -1\\\\ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix}
para obter (a) limitantes para os autovalores e (b) um limite para o raio espectral. O Teorema de Geršgorin diz que todo autovalor \lambda de A está contido na união dos discos
D(a_{ii},R_i),
onde a_{ii} é o elemento da diagonal e
R_i = \sum_{j\neq i} \bigl|a_{ij}\bigr|
é a soma dos módulos das entradas fora da diagonal na linha i.

Passo 2

Calculemos centro e raio de cada disco de Geršgorin:
Linha 1:
a_{11}=4,\quad R_1 = \bigl|-1\bigr| + \bigl|0\bigr| = 1,
logo D_1 = D(4,1).
Linha 2:
a_{22}=4,\quad R_2 = \bigl|-1\bigr| + \bigl|-1\bigr| = 2,
logo D_2 = D(4,2).
Linha 3:
a_{33}=4,\quad R_3 = \bigl|-1\bigr| + \bigl|-1\bigr| = 2,
logo D_3 = D(4,2).

Passo 3

Pelo teorema, todo autovalor \lambda satisfaz
\lambda \in D_1 \,\cup\, D_2 \,\cup\, D_3 = D(4,1)\cup D(4,2).
Como a matriz é simétrica real, os autovalores são reais e, portanto, estão no intervalo comum
[\,4 - 2,\;4 + 2\,] = [2,6].

Passo 4

O raio espectral \rho(A) é o máximo dos valores absolutos dos autovalores. Pelo teorema de Geršgorin,
\rho(A)\le \max_{i}\bigl(|a_{ii}| + R_i\bigr) = \max\{4+1,\,4+2,\,4+2\} = 6.

Resposta

(a) Os autovalores estão em
D(4,1)\;\cup\;D(4,2)\quad\Longrightarrow\quad \lambda\in[2,6].
(b) O raio espectral satisfaz \rho(A)\le6.

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