Encontre os autovalores e os autovetores associados das seguintes matrizes 3 \times 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independente?
A=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de uma matriz 3\times3 triangular superior
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
além de verificar se existe um conjunto de autovetores linearmente independente que forme base de \mathbb{R}^3.
Conteúdo: polinômio característico e solução de sistemas homogêneos (A - \lambda I)x=0.

Passo 2

Como A é triangular superior, o polinômio característico é
\det(A - \lambda I) =(2-\lambda)\,(3-\lambda)\,(2-\lambda) =(2-\lambda)^2\,(3-\lambda).
Logo, os autovalores são
\lambda_1=2\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2=3\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 3

Para \lambda=2, resolvemos
(A - 2I)x =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
As equações são x_2 + x_3=0 (repetida) e nada mais. Então
x_2 = -\,x_3, \quad x_1 \text{ livre},\quad x_3 \text{ livre}.
Tomando parâmetros s=x_1 e t=x_3, obtemos
x = \begin{pmatrix}s\\\ -t\t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Assim, um autoespaço de dimensão 2 é gerado por \,(1,0,0)^T e (0,-1,1)^T.

Passo 4

Para \lambda=3, resolvemos
(A - 3I)x =\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
As equações são
-\,x_1 + x_2 + x_3 = 0,\quad x_3=0.
De x_3=0 segue x_1=x_2. Logo
x = \begin{pmatrix}x_2\x_2\\\ 0\end{pmatrix} = x_2\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
O autoespaço de \lambda=3 é gerado por (1,1,0)^T e tem dimensão 1.

Passo 5

A soma das dimensões dos autoespaços é 2 + 1 = 3, igual à dimensão de \mathbb{R}^3.
Portanto existem três autovetores linearmente independentes, logo A é diagonalizável.

Resposta

Autovalores: \lambda=2 (mult. alg. 2), \lambda=3 (mult. alg. 1).
Autovetores:
para \lambda=2, vetores proporcionais a \,(1,0,0)^T e (0,-1,1)^T;
para \lambda=3, vetores proporcionais a (1,1,0)^T.
Existe conjunto de três autovetores linearmente independentes (sim).

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