Encontre os autovalores e os autovetores associados das seguintes matrizes 3 \times 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independente? A=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores de uma matriz 3\times3 triangular superior
além de verificar se existe um conjunto de autovetores linearmente independente que forme base de \mathbb{R}^3.
Conteúdo: polinômio característico e solução de sistemas homogêneos (A - \lambda I)x=0.
Passo 2
Como A é triangular superior, o polinômio característico é
x = \begin{pmatrix}x_2\x_2\\\ 0\end{pmatrix} = x_2\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
O autoespaço de \lambda=3 é gerado por (1,1,0)^T e tem dimensão 1.
Passo 5
A soma das dimensões dos autoespaços é 2 + 1 = 3, igual à dimensão de \mathbb{R}^3.
Portanto existem três autovetores linearmente independentes, logo A é diagonalizável.
Resposta
Autovalores: \lambda=2 (mult. alg. 2), \lambda=3 (mult. alg. 1).
Autovetores:
para \lambda=2, vetores proporcionais a \,(1,0,0)^T e (0,-1,1)^T;
para \lambda=3, vetores proporcionais a (1,1,0)^T.
Existe conjunto de três autovetores linearmente independentes (sim).