Utilize o Teorema do círculo de Geršgorin para determinar limitantes para (a) os autovalores e (b) os raios espectrais das matrizes.
\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\\\ 2 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado solicita aplicar o Teorema do círculo de Gershgorin — que garante que todo autovalor \lambda de uma matriz A está contido em algum disco centrado em a_{ii} com raio
R_i \;=\;\sum_{j\neq i}\lvert a_{ij}\rvert
— para obter limites para os autovalores e para o raio espectral de
A = \begin{pmatrix}3 & 2 & 1 \\[6pt] 2 & 3 & 0 \\[6pt] 1 & 0 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 2

Para cada linha i de A, definimos o centro
c_i = a_{ii}
e o raio
R_i = \sum_{j\neq i} \lvert a_{ij}\rvert.
Para i=1:
c_1 = 3,\quad R_1 = |2| + |1| = 3 \quad\Longrightarrow\quad D_1 = \{z\mid |z-3|\le3\} = [0,6].
Para i=2:
c_2 = 3,\quad R_2 = |2| + |0| = 2 \quad\Longrightarrow\quad D_2 = \{z\mid |z-3|\le2\} = [1,5].
Para i=3:
c_3 = 3,\quad R_3 = |1| + |0| = 1 \quad\Longrightarrow\quad D_3 = \{z\mid |z-3|\le1\} = [2,4].

Passo 3

Pelo Teorema de Gershgorin, cada autovalor de A pertence a algum D_i. Como
D_1\cup D_2\cup D_3 = [0,6],
segue que todos os autovalores satisfazem \lambda\in[0,6]. Mais precisamente, há um autovalor em cada um dos intervalos D_1, D_2 e D_3.

Passo 4

O raio espectral \rho(A) é definido como \max_i|\lambda_i|. Da contenção \lambda_i\in[0,6] obtemos
\rho(A)\le6.

Resposta

(a) Os autovalores satisfazem \lambda\in D_1\cup D_2\cup D_3 com D_1=[0,6], D_2=[1,5], D_3=[2,4], portanto \lambda\in[0,6].
(b) O raio espectral satisfaz \rho(A)\le6.

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