Utilize o Teorema do círculo de Geršgorin para determinar limitantes para (a) os autovalores e (b) os raios espectrais das matrizes. \left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\\\ 2 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado solicita aplicar o Teorema do círculo de Gershgorin — que garante que todo autovalor \lambda de uma matriz A está contido em algum disco centrado em a_{ii} com raio
R_i \;=\;\sum_{j\neq i}\lvert a_{ij}\rvert
— para obter limites para os autovalores e para o raio espectral de
Pelo Teorema de Gershgorin, cada autovalor de A pertence a algum D_i. Como
D_1\cup D_2\cup D_3 = [0,6],
segue que todos os autovalores satisfazem \lambda\in[0,6]. Mais precisamente, há um autovalor em cada um dos intervalos D_1, D_2 e D_3.
Passo 4
O raio espectral \rho(A) é definido como \max_i|\lambda_i|. Da contenção \lambda_i\in[0,6] obtemos
\rho(A)\le6.
Resposta
(a) Os autovalores satisfazem \lambda\in D_1\cup D_2\cup D_3 com D_1=[0,6], D_2=[1,5], D_3=[2,4], portanto \lambda\in[0,6].
(b) O raio espectral satisfaz \rho(A)\le6.