Utilize o Teorema do círculo de Geršgorin para determinar limitantes para (a) os autovalores e (b) os raios espectrais das matrizes.
\left[\begin{array}{rrr}4,75 & 2,25 & -0,25 \\\\ 2,25 & 4,75 & 1,25 \\\\ -0,25 & 1,25 & 4,75\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Geršgorin a fim de obter limites para (a) os autovalores e (b) o raio espectral da matriz
A=\begin{pmatrix} 4{,}75 & 2{,}25 & -0{,}25\\\\ 2{,}25 & 4{,}75 & 1{,}25\\\\ -0{,}25 & 1{,}25 & 4{,}75 \end{pmatrix}.
Lembra-se que o Teorema de Geršgorin afirma que todo autovalor \lambda de A pertence à união dos discos
D_i=\{z\in\mathbb{C}:\;|z - a_{ii}|\le R_i\},
onde R_i=\sum_{j\neq i}|a_{ij}|. A partir desses discos conseguimos intervalos reais que limitam cada \lambda e, em particular, o raio espectral \rho(A)=\max|\lambda|.

Passo 2

Calcular centros a_{ii} e raios R_i de cada linha i:
Linha 1: a_{11}=4{,}75,
R_1=|2{,}25|+|-0{,}25|=2{,}25+0{,}25=2{,}50.
Linha 2: a_{22}=4{,}75,
R_2=|2{,}25|+|1{,}25|=2{,}25+1{,}25=3{,}50.
Linha 3: a_{33}=4{,}75,
R_3=|-0{,}25|+|1{,}25|=0{,}25+1{,}25=1{,}50.

Passo 3

Escrever os discos de Geršgorin:
D_1=\{z:|z-4{,}75|\le2{,}50\},\quad D_2=\{z:|z-4{,}75|\le3{,}50\},\quad D_3=\{z:|z-4{,}75|\le1{,}50\}.
Como A é simétrica, os autovalores são reais. Cada \lambda de A pertence a pelo menos um desses discos, logo satisfaz
4{,}75 - R_i \;\le\;\lambda\;\le\;4{,}75 + R_i \quad\text{para algum }i\in\{1,2,3\}.

Passo 4

Extrair os intervalos numéricos:
D_1:\;[4{,}75-2{,}50,\;4{,}75+2{,}50]=[2{,}25,\;7{,}25],
D_2:\;[4{,}75-3{,}50,\;4{,}75+3{,}50]=[1{,}25,\;8{,}25],
D_3:\;[4{,}75-1{,}50,\;4{,}75+1{,}50]=[3{,}25,\;6{,}25].
Portanto todo autovalor \lambda satisfaz
\lambda\in [1{,}25,\;8{,}25].

Passo 5

Usar esses limites para o raio espectral \rho(A)=\max|\lambda|. Como os autovalores são positivos e ficam em [1{,}25,8{,}25], temos
\rho(A)=\lambda_{\max}\le 8{,}25.
Adicionalmente, observa-se que o menor autovalor é \ge1{,}25, o que garante \rho(A)>0.

Resposta

(a) Os autovalores de A satisfazem
\lambda\in D_1\cup D_2\cup D_3 \quad\Longrightarrow\quad \lambda\in[1{,}25,\;8{,}25].
(b) O raio espectral \rho(A)=\max|\lambda| satisfaz
\rho(A)\le 8{,}25.

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