Utilize o Teorema do círculo de Geršgorin para determinar limitantes para (a) os autovalores e (b) os raios espectrais das matrizes.
\left[\begin{array}{rrrr}-4 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & -4 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & -2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 0 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 1 & 3\\\\ 0 & -4 & 2 & 1\\\\ 1 & 2 & -2 & 0\\\\ 3 & 1 & 0 & -4 \end{pmatrix}
e pede para usarmos o Teorema do círculo de Geršgorin, que afirma que todo autovalor \lambda de A satisfaz
\lambda \in \bigcup_{i=1}^{4} D\bigl(a_{ii},R_i\bigr),
onde R_i=\sum_{j\neq i}|a_{ij}|. Além disso, queremos limitar o raio espectral \rho(A)=\max|\lambda|.

Passo 2

Calculamos para cada linha i o centro a_{ii} e o raio
R_i=\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Para i=1: a_{11}=-4,
R_1=|0|+|1|+|3|=4.
Para i=2: a_{22}=-4,
R_2=|0|+|2|+|1|=3.
Para i=3: a_{33}=-2,
R_3=|1|+|2|+|0|=3.
Para i=4: a_{44}=-4,
R_4=|3|+|1|+|0|=4.

Passo 3

Os discos de Geršgorin são
D(-4,4),\quad D(-4,3),\quad D(-2,3),\quad D(-4,4).
Logo
\lambda \in D(-4,4)\,\cup\,D(-4,3)\,\cup\,D(-2,3)\,\cup\,D(-4,4).

Passo 4

Desses discos extraímos limites para a parte real de \lambda. Como em cada disco
\Re(\lambda)\in [a_{ii}-R_i,\;a_{ii}+R_i],
temos
\min_i(a_{ii}-R_i)=-4-4=-8, \quad \max_i(a_{ii}+R_i)=-2+3=1.
Portanto
-8 \le \Re(\lambda)\le 1.

Passo 5

Para o raio espectral \rho(A)=\max|\lambda|, aplica-se também
|\lambda|\le |a_{ii}|+R_i\quad\forall i
e daí
|a_{11}|+R_1=4+4=8,\; |a_{22}|+R_2=4+3=7,\; |a_{33}|+R_3=2+3=5,\; |a_{44}|+R_4=4+4=8.
Logo
\rho(A)\le \max\{8,7,5,8\}=8.

Resposta

(a) Os autovalores satisfazem \lambda\in D(-4,4)\cup D(-4,3)\cup D(-2,3)\cup D(-4,4), com -8\le \Re(\lambda)\le 1.
(b) O raio espectral verifica \rho(A)\le 8.

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