Utilize o Teorema do círculo de Geršgorin para determinar limitantes para (a) os autovalores e (b) os raios espectrais das matrizes.
\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & -1 & 1 \\\\ 2 & 2 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 1 & 0 & 1 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Gershgorin e assim obter regiões no plano complexo que contêm todos os autovalores de
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1\\\\ 2 & 2 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}
Além disso, a partir desses círculos, vamos extrair limites para o raio espectral \rho(A)=\max_i|\lambda_i|. Para isso precisamos lembrar que, para cada linha i, o círculo de Gershgorin é
D_i=\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z-a_{ii}|\le R_i\},
com
R_i=\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.

Passo 2

Calcular as somas das entradas não-diagonais em cada linha:
R_1 = |0| + |-1| + |1| = 2, \qquad R_2 = |2| + |-1| + |1| = 4,
R_3 = |0| + |1| + |-2| = 3, \qquad R_4 = |1| + |0| + |1| = 2.

Passo 3

Então os quatro círculos de Gershgorin são
D_1=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-1|\le2\}, \quad D_2=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-2|\le4\},
D_3=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-3|\le3\}, \quad D_4=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-4|\le2\}.
Pelo Teorema de Gershgorin, todos os autovalores \lambda de A satisfazem
\lambda \in D_1 \,\cup\, D_2 \,\cup\, D_3 \,\cup\, D_4.

Passo 4

Para o raio espectral usamos os limites
\rho(A)\le \max_{1\le i\le4}\bigl(|a_{ii}|+R_i\bigr) =\max(1+2,\,2+4,\,3+3,\,4+2)=6,
\rho(A)\ge \max_{1\le i\le4}\bigl(|a_{ii}|-R_i\bigr) =\max(1-2,\,2-4,\,3-3,\,4-2)=2.

Resposta

(a) Todos os autovalores \lambda de A estão em
\lambda \in D_1\cup D_2\cup D_3\cup D_4,
onde
D_1=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-1|\le2\},\quad D_2=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-2|\le4\},
D_3=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-3|\le3\},\quad D_4=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-4|\le2\}.
(b) O raio espectral satisfaz
2 \le \rho(A)\le 6.

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