Verifique se cada função é diferenciável no ponto indicado. Justifique sua resposta.
9 f(x, y)=3 x yx^3+y^3 em(1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=3,x,yx^3+y^3
e pede para verificar se ela é diferenciável no ponto (1,2).
O conteúdo envolvido é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e, em particular, a regra do quociente para polinômios. Vamos precisar checar que o denominador não se anula em (1,2) e que as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança desse ponto.

Passo 2

Verificamos o denominador em (1,2):
1^3+2^3=1+8=9neq0
Como o denominador não zera em (1,2), existe uma vizinhança de (1,2) em que x^3+y^3neq0, de modo que f está bem definida nessa região.

Passo 3

Como soma e produto de polinômios são funções C^infty e o quociente de duas funções C^infty com denominador não nulo é também C^infty, concluímos já que f é diferenciável em toda essa vizinhança de (1,2).
Para ilustrar, aplicamos a regra do quociente e obtemos as derivadas parciais:
partial fpartial x =3y,(x^3+y^3)-3xycdot3x^2(x^3+y^3)^2 =3y,x^3+3y^4-9x^3y(x^3+y^3)^2,
partial fpartial y =3x,(x^3+y^3)-3xycdot3y^2(x^3+y^3)^2 =3x^4+3xy^3-9xy^3(x^3+y^3)^2

Passo 4

Ao avaliar em (1,2), as expressões acima dão valores finitos e, por serem quocientes de polinômios com denominador não nulo, são funções contínuas em torno de (1,2). Logo, as derivadas parciais existem e são contínuas nessa vizinhança.
Pelo critério de existência e continuidade das derivadas parciais (ou pelo fato de f pertencer a C^1 na vizinhança), concluímos que f é diferenciável em (1,2).

Resposta

A função é diferenciável no ponto (1,2), pois o denominador não se anula aí e f é quociente de funções polinomiais C^infty.

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