Verifique se cada função é diferenciável no ponto indicado. Justifique sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar se ela é diferenciável no ponto
.
O conteúdo envolvido é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e, em particular, a regra do quociente para polinômios. Vamos precisar checar que o denominador não se anula em e que as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança desse ponto.
O conteúdo envolvido é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e, em particular, a regra do quociente para polinômios. Vamos precisar checar que o denominador não se anula em
Passo 2
Verificamos o denominador em
:
Como o denominador não zera em
, existe uma vizinhança de
em que
, de modo que
está bem definida nessa região.
Passo 3
Como soma e produto de polinômios são funções
e o quociente de duas funções
com denominador não nulo é também
, concluímos já que
é diferenciável em toda essa vizinhança de
.
Para ilustrar, aplicamos a regra do quociente e obtemos as derivadas parciais:
Para ilustrar, aplicamos a regra do quociente e obtemos as derivadas parciais:
Passo 4
Ao avaliar em
, as expressões acima dão valores finitos e, por serem quocientes de polinômios com denominador não nulo, são funções contínuas em torno de
. Logo, as derivadas parciais existem e são contínuas nessa vizinhança.
Pelo critério de existência e continuidade das derivadas parciais (ou pelo fato de pertencer a
na vizinhança), concluímos que
é diferenciável em
.
Pelo critério de existência e continuidade das derivadas parciais (ou pelo fato de
Resposta
A função é diferenciável no ponto
, pois o denominador não se anula aí e
é quociente de funções polinomiais
.