Um casal de recém-casados compra um apartamento de
450.000,00
11 %$ a.a. pelo Sistema Francês de Amortização (SFA), também conhecido como PRICE. Admitindo que não existam outros encargos, pergunta-se:
a) Qual é o valor da parcela em cada período para liquidar o débito?
b) Qual o saldo devedor após o pagamento da parcela de número
, se faltam ainda pagar
parcelas?
c) Qual é o valor do juro incluído na parcela
?
d) Qual é o valor da importância amortizada (amortização) incluída na parcela de número
?
e) Qual é o valor dos juros acumulados desde o início do fluxo de caixa até a parcela de número
?
f) Qual é o valor das amortizações acumuladas no período anterior?
g) Qual é o valor dos juros acumulados num período que vai de
até
?
h) Qual é o valor das amortizações acumuladas no mesmo período anterior?
a) Qual é o valor da parcela em cada período para liquidar o débito?
b) Qual o saldo devedor após o pagamento da parcela de número
c) Qual é o valor do juro incluído na parcela
d) Qual é o valor da importância amortizada (amortização) incluída na parcela de número
e) Qual é o valor dos juros acumulados desde o início do fluxo de caixa até a parcela de número
f) Qual é o valor das amortizações acumuladas no período anterior?
g) Qual é o valor dos juros acumulados num período que vai de
h) Qual é o valor das amortizações acumuladas no mesmo período anterior?
Passo 1
O enunciado dá todas as condições do financiamento e faz várias perguntas sobre parcelas, saldo, juros e amortizações no Sistema Francês (PRICE). Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido.
- Valor financiado (valor presente):
. - Prazo total:
períodos (anos), assumindo pagamentos anuais. - Taxa de juros nominal por período:
. - Método: Sistema Francês de Amortização (SFA), também chamado de PRICE — parcelas constantes.
- Foi pedido:
a) o valor da parcela constanteque liquida o débito em períodos;
b) o saldo devedor após o pagamento da parcela de número, sabendo que ainda faltam pagar parcelas (aqui, );
c) o juro incluído na parcela;
d) a amortização (importância amortizada) incluída na parcela;
e) os juros acumulados desde o início até a parcela;
f) as amortizações acumuladas no período anterior (interpreto como acumuladas até antes da parcela, isto é, até );
g) os juros acumulados no período deaté (inclusive todas as parcelas de 5 a 10);
h) as amortizações acumuladas no mesmo período (deaté ).
Agora que está claro o que temos e o que pedem, vou explicar a teoria necessária e resolver passo a passo.
Passo 2
Conceito e fórmulas fundamentais do SFA (PRICE) — o que é e por que usar:
- No SFA a parcela
é constante ao longo de todo o financiamento. Cada parcela é composta de uma parte juros e uma parte amortização. - A parcela
é a anuidade que tem valor presente igual ao empréstimo . A fórmula padrão para a parcela (anuidade) é:
Explicando cada símbolo:
-
é o valor presente (débito inicial), -
é a taxa de juros por período (expressa em decimal), -
é o número total de parcelas, -
é a parcela constante a ser encontrada. - Saldo devedor imediatamente após o pagamento da parcela de número
(ou seja, no fim do período ) pode ser visto de duas formas equivalentes: - saldo como valor presente das parcelas restantes (tanto faz calcular diretamente):
onde é o número de parcelas que ainda faltam pagar após a -ésima.
2) ou usando a relação recorrente com o histórico:Ambas dão o mesmo resultado; uso a que for mais conveniente. - Juros da parcela
: é calculado sobre o saldo no início do período (ou seja, imediatamente após o pagamento da parcela ). Assim
- Amortização da parcela
:
- Acumulados até um período: a soma das amortizações até
é (pois o principal pago é a redução do saldo). A soma dos juros até é o total pago até menos a amortização acumulada:
Essas são as fórmulas que vou aplicar.
Passo 3
Cálculo da parcela anual
.
Aplicando a fórmula da anuidade com
,
e
:
Vou calcular passo a passo (mostrando as contas aproximadas, para faremos na prova sem calculadora com aritmética básica e tabelas de potências quando necessário):
- Primeiro calcule
. Usando multiplicações sucessivas obtemos aproximadamente . - Então
. - O denominador fica
. - A razão
. - Finalmente:
Portanto a parcela anual é aproximadamente
.
Passo 4
Saldo devedor após o pagamento da parcela
(ou seja,
). Aqui
parcelas ainda faltam após a 5ª.
Uso a fórmula do valor presente das parcelas restantes:
Calcule os termos:
-
(veja multiplicações anteriores), então . - Logo
- Multiplicando por
:
Como verificação rápida (mesma resposta com a outra fórmula):
fazendo as contas obtém-se o mesmo
dentro de pequenas diferenças de arredondamento.
Portanto o saldo devedor após a 5ª parcela é aproximadamente
Passo 5
Juro incluído na parcela
.
Esse juro é calculado sobre o saldo no início do período 5, ou seja
(saldo imediatamente após a 4ª parcela). Primeiro calculo
pela fórmula de valor presente das parcelas restantes depois da 4ª (faltam 16 parcelas):
Fazendo as contas (usando valores intermediários já obtidos) obtém-se aproximadamente
Então o juro da 5ª parcela é
(Fonte de coerência:
mais a amortização em 5ª dá a parcela
.)
Passo 6
Amortização incluída na parcela
.
A amortização é a diferença entre a parcela e o juro daquele mês:
Substituindo os números:
Também pode-se confirmar que
.
Passo 7
Juros acumulados desde o início até a parcela
.
Soma dos juros das parcelas
até
. A maneira mais prática é usar:
Explicando: o total pago em 5 parcelas é
. Deste total, a parte que foi efetivamente amortização (reduziu o principal) é
. O resto é juros acumulados.
Já temos
e
, então:
- Amortização acumulada até
: - Total pago em 5 parcelas:
- Logo juros acumulados até a 5ª:
Passo 8
Amortizações acumuladas no período anterior (interpretei como até antes da parcela
, ou seja, até
).
É simplesmente:
Usando
,
Passo 9
Juros acumulados de
até
.
Esse total é a soma dos juros das parcelas
. Uma forma rápida:
E cada soma acumulada até um ponto
pode ser calculada como
. Então
Isso simplifica para
Vou calcular com os valores aproximados:
- Primeiro precisamos de
. Usando a fórmula do valor presente das parcelas restantes (faltam parcelas):
Com os números (e potências calculadas antes) obtém-se aproximadamente
(É o saldo devedor após a 10ª parcela.)
- Já temos
. - Calculamos
.
Agora:
(Observação: outra forma é calcular as somas acumuladas até 10 e até 4 separadamente e subtrair; o resultado numérico com arredondamentos dá o mesmo valor dentro de pequenas diferenças de arredondamento.)
Passo 10
Amortizações acumuladas no período de
até
.
Soma das amortizações de 5 a 10 é simplesmente a diferença das amortizações acumuladas até 10 e até 4:
Com os valores aproximados:
Isso fecha todas as perguntas solicitadas; abaixo listo apenas as respostas finais conforme pedido.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)