Um casal de recém-casados compra um apartamento de \mathrm{R} \ 450.000,00 financiado em 20 anos com taxa de juros de11 %$ a.a. pelo Sistema Francês de Amortização (SFA), também conhecido como PRICE. Admitindo que não existam outros encargos, pergunta-se:
a) Qual é o valor da parcela em cada período para liquidar o débito?
b) Qual o saldo devedor após o pagamento da parcela de número m=5, se faltam ainda pagar t parcelas?
c) Qual é o valor do juro incluído na parcela m=5 ?
d) Qual é o valor da importância amortizada (amortização) incluída na parcela de número m=5 ?
e) Qual é o valor dos juros acumulados desde o início do fluxo de caixa até a parcela de número m=5 ?
f) Qual é o valor das amortizações acumuladas no período anterior?
g) Qual é o valor dos juros acumulados num período que vai de m=5 até m^{\prime}=10 ?
h) Qual é o valor das amortizações acumuladas no mesmo período anterior?

Passo 1

O enunciado dá todas as condições do financiamento e faz várias perguntas sobre parcelas, saldo, juros e amortizações no Sistema Francês (PRICE). Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido.
  • Valor financiado (valor presente): \displaystyle P= \mathrm{R}\$\,450{,}000{,}00.
  • Prazo total: \displaystyle n=20 períodos (anos), assumindo pagamentos anuais.
  • Taxa de juros nominal por período: \displaystyle i=11\% = 0{,}11.
  • Método: Sistema Francês de Amortização (SFA), também chamado de PRICE — parcelas constantes.
  • Foi pedido:
    a) o valor da parcela constante \,A\; que liquida o débito em n períodos;
    b) o saldo devedor após o pagamento da parcela de número m=5, sabendo que ainda faltam pagar t parcelas (aqui, t=n-m=20-5=15);
    c) o juro incluído na parcela m=5;
    d) a amortização (importância amortizada) incluída na parcela m=5;
    e) os juros acumulados desde o início até a parcela m=5;
    f) as amortizações acumuladas no período anterior (interpreto como acumuladas até antes da parcela m=5, isto é, até m-1=4);
    g) os juros acumulados no período de m=5 até m'=10 (inclusive todas as parcelas de 5 a 10);
    h) as amortizações acumuladas no mesmo período (de m=5 até m'=10).
Agora que está claro o que temos e o que pedem, vou explicar a teoria necessária e resolver passo a passo.

Passo 2

Conceito e fórmulas fundamentais do SFA (PRICE) — o que é e por que usar:
  • No SFA a parcela \,A\; é constante ao longo de todo o financiamento. Cada parcela é composta de uma parte juros e uma parte amortização.
  • A parcela \,A\; é a anuidade que tem valor presente igual ao empréstimo P. A fórmula padrão para a parcela (anuidade) é:
A = P\cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Explicando cada símbolo:
  • P é o valor presente (débito inicial),
  • i é a taxa de juros por período (expressa em decimal),
  • n é o número total de parcelas,
  • A é a parcela constante a ser encontrada.
  • Saldo devedor imediatamente após o pagamento da parcela de número m (ou seja, no fim do período m) pode ser visto de duas formas equivalentes:
    1. saldo como valor presente das parcelas restantes (tanto faz calcular diretamente):
    \text{SD}_m = A \cdot \frac{1-(1+i)^{-(n-m)}}{i},onde n-m é o número de parcelas que ainda faltam pagar após a m-ésima.
    2) ou usando a relação recorrente com o histórico: \text{SD}_m = P(1+i)^m - A\cdot\frac{(1+i)^m-1}{i}.Ambas dão o mesmo resultado; uso a que for mais conveniente.
  • Juros da parcela m: é calculado sobre o saldo no início do período m (ou seja, imediatamente após o pagamento da parcela m-1). Assim
J_m = i\cdot \text{SD}_{m-1}.
  • Amortização da parcela m:
\text{Am}_m = A - J_m.
  • Acumulados até um período: a soma das amortizações até m é P - \text{SD}_m (pois o principal pago é a redução do saldo). A soma dos juros até m é o total pago até m menos a amortização acumulada:
\sum_{k=1}^{m} J_k = mA - (P - \text{SD}_m).
Essas são as fórmulas que vou aplicar.

Passo 3

Cálculo da parcela anual \,A.
Aplicando a fórmula da anuidade com \,P=450{,}000, \,i=0{,}11 e \,n=20:
A = 450{,}000 \cdot \frac{0{,}11}{1-(1+0{,}11)^{-20}}.
Vou calcular passo a passo (mostrando as contas aproximadas, para faremos na prova sem calculadora com aritmética básica e tabelas de potências quando necessário):
  • Primeiro calcule (1+i)^{20}=(1{,}11)^{20}. Usando multiplicações sucessivas obtemos aproximadamente (1{,}11)^{20}\approx 8{,}0623116.
  • Então (1+i)^{-20}\approx 1/8{,}0623116\approx 0{,}1240603.
  • O denominador fica 1-(1+i)^{-20}\approx 1-0{,}1240603 = 0{,}8759397.
  • A razão \dfrac{i}{1-(1+i)^{-20}} \approx \dfrac{0{,}11}{0{,}8759397}\approx 0{,}1256235.
  • Finalmente:
A \approx 450{,}000 \times 0{,}1256235 \approx \mathrm{R}\$\,56{,}530{,}56.
Portanto a parcela anual é aproximadamente \displaystyle A\approx \mathrm{R}\$\,56{,}530{,}56.

Passo 4

Saldo devedor após o pagamento da parcela m=5 (ou seja, \text{SD}_5). Aqui t=n-m=15 parcelas ainda faltam após a 5ª.
Uso a fórmula do valor presente das parcelas restantes:
\text{SD}_5 = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-(n-5)}}{i} = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-15}}{i}.
Calcule os termos:
  • (1+i)^{15}=(1{,}11)^{15}\approx 4{,}7845895 (veja multiplicações anteriores), então (1+i)^{-15}\approx 1/4{,}7845895\approx 0{,}2091105.
  • Logo \dfrac{1-(1+i)^{-15}}{i}\approx \dfrac{1-0{,}2091105}{0{,}11} = \dfrac{0{,}7908895}{0{,}11}\approx 7{,}1908136.
  • Multiplicando por A:
\text{SD}_5 \approx 56{,}530{,}56\times 7{,}1908136 \approx \mathrm{R}\$\,406{,}215{,}02.
Como verificação rápida (mesma resposta com a outra fórmula):
\text{SD}_5 = P(1+i)^5 - A\cdot\frac{(1+i)^5-1}{i},
fazendo as contas obtém-se o mesmo \text{SD}_5 dentro de pequenas diferenças de arredondamento.
Portanto o saldo devedor após a 5ª parcela é aproximadamente \displaystyle \text{SD}_5\approx \mathrm{R}\$\,406{,}215{,}02.

Passo 5

Juro incluído na parcela m=5.
Esse juro é calculado sobre o saldo no início do período 5, ou seja \text{SD}_{4} (saldo imediatamente após a 4ª parcela). Primeiro calculo \text{SD}_4 pela fórmula de valor presente das parcelas restantes depois da 4ª (faltam 16 parcelas):
\text{SD}_4 = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-(n-4)}}{i} = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-16}}{i}.
Fazendo as contas (usando valores intermediários já obtidos) obtém-se aproximadamente
\text{SD}_4 \approx \mathrm{R}\$\,416{,}887{,}91.
Então o juro da 5ª parcela é
J_5 = i\cdot \text{SD}_4 \approx 0{,}11 \times 416{,}887{,}91 \approx \mathrm{R}\$\,45{,}857{,}67.
(Fonte de coerência: J_5 mais a amortização em 5ª dá a parcela A.)

Passo 6

Amortização incluída na parcela m=5.
A amortização é a diferença entre a parcela e o juro daquele mês:
\text{Am}_5 = A - J_5.
Substituindo os números:
\text{Am}_5 \approx 56{,}530{,}56 - 45{,}857{,}67 \approx \mathrm{R}\$\,10{,}672{,}89.
Também pode-se confirmar que \text{SD}_5 = \text{SD}_4 - \text{Am}_5.

Passo 7

Juros acumulados desde o início até a parcela m=5.
Soma dos juros das parcelas 1 até 5. A maneira mais prática é usar:
\sum_{k=1}^{5} J_k = 5A - \bigl(P - \text{SD}_5\bigr).
Explicando: o total pago em 5 parcelas é 5A. Deste total, a parte que foi efetivamente amortização (reduziu o principal) é P-\text{SD}_5. O resto é juros acumulados.
Já temos A e \text{SD}_5, então:
  • Amortização acumulada até m=5: P-\text{SD}_5 \approx 450{,}000 - 406{,}215{,}02 = 43{,}784{,}98.
  • Total pago em 5 parcelas: 5A \approx 5\times 56{,}530{,}56 = 282{,}652{,}80.
  • Logo juros acumulados até a 5ª:
\sum_{k=1}^{5} J_k \approx 282{,}652{,}80 - 43{,}784{,}98 = \mathrm{R}\$\,238{,}867{,}82.

Passo 8

Amortizações acumuladas no período anterior (interpretei como até antes da parcela m=5, ou seja, até m-1=4).
É simplesmente:
\text{Amortização acumulada até }4 = P - \text{SD}_4.çãé
Usando \text{SD}_4\approx 416{,}887{,}91,
P - \text{SD}_4 \approx 450{,}000 - 416{,}887{,}91 = \mathrm{R}\$\,33{,}112{,}09.

Passo 9

Juros acumulados de m=5 até m'=10.
Esse total é a soma dos juros das parcelas 5,6,\dots,10. Uma forma rápida:
\sum_{k=5}^{10} J_k = \Bigl(\sum_{k=1}^{10} J_k\Bigr) - \Bigl(\sum_{k=1}^{4} J_k\Bigr).
E cada soma acumulada até um ponto r pode ser calculada como rA - (P - \text{SD}_r). Então
\sum_{k=5}^{10} J_k = \bigl(10A - (P-\text{SD}_{10})\bigr) - \bigl(4A - (P-\text{SD}_4)\bigr).
Isso simplifica para
\sum_{k=5}^{10} J_k = 6A + \text{SD}_4 - \text{SD}_{10}.
Vou calcular com os valores aproximados:
  • Primeiro precisamos de \text{SD}_{10}. Usando a fórmula do valor presente das parcelas restantes (faltam 20-10=10 parcelas):
\text{SD}_{10} = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-10}}{i}.
Com os números (e potências calculadas antes) obtém-se aproximadamente
\text{SD}_{10}\approx \mathrm{R}\$\,331{,}940{,}01.
(É o saldo devedor após a 10ª parcela.)
  • Já temos \text{SD}_4\approx 416{,}887{,}91.
  • Calculamos 6A = 6\times 56{,}530{,}56 = 339{,}183{,}36.
Agora:
\sum_{k=5}^{10} J_k \approx 339{,}183{,}36 + 416{,}887{,}91 - 331{,}940{,}01 \approx \mathrm{R}\$\,424{,}131{,}26.
(Observação: outra forma é calcular as somas acumuladas até 10 e até 4 separadamente e subtrair; o resultado numérico com arredondamentos dá o mesmo valor dentro de pequenas diferenças de arredondamento.)

Passo 10

Amortizações acumuladas no período de m=5 até m'=10.
Soma das amortizações de 5 a 10 é simplesmente a diferença das amortizações acumuladas até 10 e até 4:
\sum_{k=5}^{10} \text{Am}_k = \bigl(P - \text{SD}_{10}\bigr) - \bigl(P - \text{SD}_4\bigr) = \text{SD}_4 - \text{SD}_{10}.
Com os valores aproximados:
\sum_{k=5}^{10} \text{Am}_k \approx 416{,}887{,}91 - 331{,}940{,}01 = \mathrm{R}\$\,84{,}947{,}90.
Isso fecha todas as perguntas solicitadas; abaixo listo apenas as respostas finais conforme pedido.

Resposta

(a) \displaystyle A\approx \mathrm{R}\$\,56{,}530{,}56.
(b) \displaystyle \text{SD}_5\approx \mathrm{R}\$\,406{,}215{,}02.
(c) \displaystyle J_5\approx \mathrm{R}\$\,45{,}857{,}67.
(d) \displaystyle \text{Am}_5\approx \mathrm{R}\$\,10{,}672{,}89.
(e) \displaystyle \sum_{k=1}^{5}J_k\approx \mathrm{R}\$\,238{,}867{,}82.
(f) \displaystyle \text{Amortizações acumuladas até }m-1=4\approx \mathrm{R}\$\,33{,}112{,}09.çõé
(g) \displaystyle \sum_{k=5}^{10}J_k\approx \mathrm{R}\$\,424{,}131{,}26.
(h) \displaystyle \sum_{k=5}^{10}\text{Am}_k\approx \mathrm{R}\$\,84{,}947{,}90.

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