3.1 Considerando o fato de que as mudanças de pista realizadas involuntariamente por motoristas distraídos são responsáveis por 43 \% de todas as mortes nas rodovias, a Ford Motor Co. e a Volvo lançaram um programa de desenvolvimento de tecnologias para evitar acidentes praticados por motoristas sonolentos. Um dispositivo que custa \ 260 detecta as faixas marcadas na estrada e dispara um alarme durante as mudanças de pista. Se esses dispositivos forem incluídos em 100.000 carros novos ao ano, com início daqui a 3 anos, qual seria o valor presente de seu custo ao longo de um período de 10 anos a uma taxa de juros deçííí10 %$ ao ano?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara dos dados e da pergunta):
  • Custo por dispositivo: \$260 (cada dispositivo).
  • Número de dispositivos instalados por ano: 100{,}000 carros novos por ano.
  • Início das instalações: daqui a 3 anos (ou seja, primeiro pagamento ocorre no final do ano 3, assumindo pagamentos anuais).
  • Duração do programa: 10 anos (pagamentos anuais ocorrendo nos anos 3,4,\dots,12).
  • Taxa de juros (taxa de desconto): 10\% ao ano, ou seja, r=0{,}10.
O que o problema pede:
  • Calcular o valor presente (no tempo 0) do custo total desse programa ao longo dos 10 anos, descontando à taxa de 10\% ao ano.

Passo 2

Entendendo o que é valor presente e como descontar fluxos futuros (aulas curta e prática).
  • O valor presente (PV) de um pagamento futuro é o quanto esse pagamento vale hoje, considerando que uma quantia hoje investida à taxa r cresce para a quantia futura. A fórmula de desconto de um pagamento X que ocorre no final do ano k é
\text{PV do pagamento} = \frac{X}{(1+r)^{k}}.
  • Se há uma série de pagamentos anuais iguais C ocorrendo em vários anos, somamos os valores presentes de cada pagamento:
\text{PV total}=\sum_{k=\text{anos}} \frac{C}{(1+r)^{k}}.
  • No nosso caso cada pagamento anual é o custo total dos dispositivos daquele ano:
C = 100{,}000 \times 260.
Vou calcular C já.

Passo 3

Calcular o pagamento anual C.
  • Multiplicando número de dispositivos pelo custo unitário:
C = 100{,}000 \times 260 = 26{,}000{,}000.
Ou seja, \$26{.}000{.}000 por ano (por 10 anos), pagos nos anos 3 a 12.

Passo 4

Expressar o valor presente como soma geométrica e usar a fórmula de anuidade.
  • Valor presente procurado:
\text{PV}=\sum_{k=3}^{12}\frac{26{,}000{,}000}{(1+0{,}10)^{k}}.
  • É mais prático usar a fórmula da anuidade (soma de uma progressão geométrica). A soma dos n primeiros termos de uma anuidade com pagamento C nos anos 1 a n tem PV no tempo 0:
\text{PV}_{\text{anu}} = C\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}.
  • Como nossos pagamentos começam no ano 3 e vão até o ano 12 (total n=10 pagamentos), podemos escrever a PV no tempo 0 como a PV da anuidade que começaria no ano 1 (mesmo C e mesmo n), descontada mais 2 anos, isto é:
\text{PV} = \left[C\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}\right]\cdot(1+r)^{-2}.
Aqui:
  • C=26{,}000{,}000,
  • r=0{,}10,
  • n=10.

Passo 5

Aplicar a fórmula com os números e calcular passo a passo (mostrar cada número que entra no cálculo).
  • Primeiro calcule o fator da anuidade:
A=\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}=\frac{1-(1{,}10)^{-10}}{0{,}10}.
  • Calcular (1{,}10)^{10} e seu inverso:
(1{,}10)^{10}\approx 2{,}5937424601\quad\Rightarrow\quad (1{,}10)^{-10}\approx 0{,}3855432894.
  • Então
A=\frac{1-0{,}3855432894}{0{,}10}=\frac{0{,}6144567106}{0{,}10}=6{,}144567106.

Passo 6

Continuar o cálculo: desconto adicional para deslocar início para o ano 3.
  • Multiplicar A por C para obter a PV da anuidade como se começasse no ano 1:
C\cdot A = 26{,}000{,}000 \times 6{,}144567106 \approx 159{,}758{,}744{,}7.
  • Agora descontar 2 anos (porque na realidade os pagamentos começam em k=3, não em k=1):
\text{PV} = 159{,}758{,}744{,}7 \times (1{,}10)^{-2}.
  • Como (1{,}10)^{2}=1{,}21, temos (1{,}10)^{-2}=1/1{,}21\approx 0{,}82644628099.
  • Portanto
\text{PV} \approx 159{,}758{,}744{,}7 \times 0{,}82644628099 \approx 132{,}032{,}050{,}7.

Passo 7

Interpretação e arredondamento final.
  • O valor presente do custo total (valor em $hoje) é aproximadamente \$132{.}032{.}050{,}71.
  • Em notação financeira arredondada pode-se apresentar como \$132{.}032{.}051 (arredondando para o dólar mais próximo).

Resposta

\$132{.}032{.}050{,}71

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