3.1 Considerando o fato de que as mudanças de pista realizadas involuntariamente por motoristas distraídos são responsáveis por
de todas as mortes nas rodovias, a Ford Motor Co. e a Volvo lançaram um programa de desenvolvimento de tecnologias para evitar acidentes praticados por motoristas sonolentos. Um dispositivo que custa
260
10 %$ ao ano?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara dos dados e da pergunta):
- Custo por dispositivo:
(cada dispositivo). - Número de dispositivos instalados por ano:
carros novos por ano. - Início das instalações: daqui a
anos (ou seja, primeiro pagamento ocorre no final do ano , assumindo pagamentos anuais). - Duração do programa:
anos (pagamentos anuais ocorrendo nos anos ). - Taxa de juros (taxa de desconto):
ao ano, ou seja, .
O que o problema pede:
- Calcular o valor presente (no tempo
) do custo total desse programa ao longo dos anos, descontando à taxa de ao ano.
Passo 2
Entendendo o que é valor presente e como descontar fluxos futuros (aulas curta e prática).
- O valor presente (PV) de um pagamento futuro é o quanto esse pagamento vale hoje, considerando que uma quantia hoje investida à taxa
cresce para a quantia futura. A fórmula de desconto de um pagamento que ocorre no final do ano é
- Se há uma série de pagamentos anuais iguais
ocorrendo em vários anos, somamos os valores presentes de cada pagamento:
- No nosso caso cada pagamento anual é o custo total dos dispositivos daquele ano:
Vou calcular
já.
Passo 3
Calcular o pagamento anual
.
- Multiplicando número de dispositivos pelo custo unitário:
Ou seja,
por ano (por
anos), pagos nos anos
a
.
Passo 4
Expressar o valor presente como soma geométrica e usar a fórmula de anuidade.
- Valor presente procurado:
- É mais prático usar a fórmula da anuidade (soma de uma progressão geométrica). A soma dos
primeiros termos de uma anuidade com pagamento nos anos a tem PV no tempo :
- Como nossos pagamentos começam no ano
e vão até o ano (total pagamentos), podemos escrever a PV no tempo como a PV da anuidade que começaria no ano (mesmo e mesmo ), descontada mais anos, isto é:
Aqui:
-
, -
, -
.
Passo 5
Aplicar a fórmula com os números e calcular passo a passo (mostrar cada número que entra no cálculo).
- Primeiro calcule o fator da anuidade:
- Calcular
e seu inverso:
- Então
Passo 6
Continuar o cálculo: desconto adicional para deslocar início para o ano 3.
- Multiplicar
por para obter a PV da anuidade como se começasse no ano 1:
- Agora descontar 2 anos (porque na realidade os pagamentos começam em
, não em ):
- Como
, temos . - Portanto
Passo 7
Interpretação e arredondamento final.
- O valor presente do custo total (valor em $hoje) é aproximadamente
. - Em notação financeira arredondada pode-se apresentar como
(arredondando para o dólar mais próximo).