a) Mostre que o sistema linear 4 times 4 obtido com n=5 pode ser resolvido pelo método de Gauss-Seidel.
b) Calcule 1 iteração pelo método de Gauss-Seidel a partir da aproximação inicial nula e delimite o erro.
c) Calcule 1 iteração pelo método de SOR com omega=1.5 a partir do mesmo valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos por partes. A questão vem de um esquema de diferenças finitas para a equação
-u''(x)=1, xin(0,1), u(0)=u(1)=0,
com malha de tamanho A u= b, . Isso gera 4 pontos internos A=1h^2 2&-1&0&0 -1&2&-1&0 0&-1&2&-1 0&0&-1&2 , h=tfrac15, b=1h^2(1,1,1,1)^T=l(25,25,25,25r)^T ( ) e um sistema linear 4×4
onde
Conteúdo: método de Gauss–Seidel (GS) e SOR. Precisamos (i) checar convergência pelo critério de diagonal dominante; (ii) escrever a fórmula iterativa de GS e fazer uma iteração a partir de zero; (iii) estimar o erro; (iv) repetir com SOR, .

Passo 2

Mostrar que GS converge.
– Teoria: o GS converge se |aii|=50>;25= sumjne i|aij|, for estritamente diagonalmente dominante por linhas ou simétrica definida positiva.
– Aqui, em cada linha de , o elemento da diagonal vale e a soma dos módulos dos demais elementos é .
Logo
ou seja, é estrita-mente diagonal dominante. Portanto o método de Gauss–Seidel converge.

Passo 3

Uma iteração de Gauss–Seidel:
Fórmula geral para ui^(k+1) =1aiil(bi-sumjiaijuj^(k)r) -ésima componente:
u1^(1) =150l(25-(-25)cdot0 -(-25)cdot0r) =2550=0.5
No nosso caso u2^(1) =150l(25-(-25),u1^(1)-(-25)cdot0r) =25+25cdot0.550 =25+12.550=0.75 , u3^(1) =150l(25-(-25),u2^(1)-(-25)cdot0r) =25+25cdot0.7550 =25+18.7550=0.875 , u4^(1) =150l(25-(-25),u3^(1)-(-25)cdot0r) =25+25cdot0.87550 =25+21.87550=0.9375 , e a aproximação inicial é nula: u^(1)rm GS =(0.5,;0.75,;0.875,;0.9375)^T .
Calculemos passo a passo:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
Então, após 1 iteração de GS:

Passo 4

Delimitando o erro.
– Teoria: se | e^(k+1)|infty<= rho(Brm GS),| e^(k)|infty, é a solução exata e rho(Brm GS)=cos^2!l(piN+1r), , então no senso do infinito
rho(Brm GS) =cos^2!l(tfracpi5r)approx(0.8090)^2approx0.6545
onde | e^(1)|infty <=0.6545,| x^*|infty é a matriz de iteração e | x^*- u^(1)|infty<=| u^(1)- u^(0)|infty1-rho(Brm GS) =maxi|ui^(1)|1-0.6545 =0.93750.3455approx2.71 .
– Para nosso tri-diagonal uniforme, sabe-se que
com . Logo
Como , temos . Então, após a 1ª iteração
Se quisermos uma estimativa só em função do iterado, usamos o fato

Passo 5

Agora uma iteração de SOR com ui^(k+1) =(1-omega)ui^(k) +omegaaiil(bi-sumjiaijuj^(k)r) .
Fórmula SOR:
u1^(1) =1.5cdot2550=1.5cdot0.5=0.75
Com u2^(1) =1.5cdot25+25cdot u1^(1)50 =1.5cdot25+25cdot0.7550 =1.5cdot0.75=1.125 , dá para ver que o fator u3^(1) =1.5cdot25+25cdot u2^(1)50 =1.5cdot25+25cdot1.12550 =1.5cdot0.875=1.3125 some, e fica u4^(1) =1.5cdot25+25cdot u3^(1)50 =1.5cdot25+25cdot1.312550 =1.5cdot0.9375=1.40625 vezes o passo GS:
  1. u^(1)rm SOR =(0.75,;1.125,;1.3125,;1.40625)^T :
  1. :
  1. :
  1. :
Então, após 1 iteração de SOR( ):

Resposta

a) é estritamente diagonal dominante, logo Gauss–Seidel converge.
b) , com
(ou, em valores absolutos, ).
c)

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