Uma chapa de metal plana está em plano xy de modo que a temperatura
, em função de
seja dada por
. T é expressa em graus Celsius,
e
são expressos em centímetros. Ache a taxa de variação de T em relação à distância no ponto (1,2) na direção do eixo
e na direção do eixo
. (Dica: calcule a derivada parcial em relação à direção
e à direção
e aplique nos pontos).
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado tá pedindo: temos uma chapa no plano xy em que a temperatura é
em que
Isso é basicamente derivadas parciais: a gente vai calcular
e depois botar
,
.
Passo 2
Vamos pegar a derivada parcial em relação a
. Lembra que, pra derivada parcial
, a gente trata
como constante e deriva em
.
- Escreve a função:
. - Usa a regra da cadeia:
- Primeiro, a derivada de
em relação a é . - Aqui
. Então
3) Como, temos (porque é constante).
4) Juntando tudo:
$$\frac{\partial T}{\partial x}=;2;\cdot;2,(x2+y2);\cdot;2x=8,x,(x2+y2),.x2+y2=12+22=5\quad\Longrightarrow\quad\frac{\partial T}{\partial x}(1,2)=8\cdot1\cdot5=40\ (°C/cm).$$
- Primeiro, a derivada de
Passo 3
Agora derivada parcial em relação a
. O processo é análogo, só que a gente trata
como constante:
-
. - Pela regra da cadeia, igualzinho:
- Avaliando em
(de novo ):
Resposta
Taxa de variação de
no ponto
:
- Na direção do eixo
: . - Na direção do eixo
: .