Uma chapa de metal plana está em plano xy de modo que a temperatura T, em função de (x, y) seja dada por T(x, y)=2(x^2+y^2)^2. T é expressa em graus Celsius, x e y são expressos em centímetros. Ache a taxa de variação de T em relação à distância no ponto (1,2) na direção do eixo x e na direção do eixo y. (Dica: calcule a derivada parcial em relação à direção x e à direção y e aplique nos pontos).

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado tá pedindo: temos uma chapa no plano xy em que a temperatura é
T(x,y)=2l(x^2+y^2r)^2,,
em que T tá em °C e x,y em cm. A questão quer saber “a taxa de variação de T em relação à distância” na direção do eixo x e na direção do eixo y, avaliando no ponto (1,2).
Isso é basicamente derivadas parciais: a gente vai calcular
partial Tpartial xepartial Tpartial y
e depois botar x=1, y=2.

Passo 2

Vamos pegar a derivada parcial em relação a x. Lembra que, pra derivada parcial partial T/partial x, a gente trata y como constante e deriva em x.
  1. Escreve a função: T(x,y)=2,(x^2+y^2)^2.
  2. Usa a regra da cadeia:
    • Primeiro, a derivada de u^2 em relação a u é 2u.
    • Aqui u=x^2+y^2. Então ddxl(u^2r)=2,ucdotdudx
      3) Como u=x^2+y^2, temos dudx=2x (porque y^2 é constante).
      4) Juntando tudo:
      $$\frac{\partial T}{\partial x}=;2;\cdot;2,(x2+y2);\cdot;2x=8,x,(x2+y2),. partial Tpartial x =;2;cdot;2,(x^2+y^2);cdot;2x =8,x,(x^2+y^2), x2+y2=12+22=5\quad\Longrightarrow\quad\frac{\partial T}{\partial x}(1,2)=8\cdot1\cdot5=40\ (°C/cm).$$

Passo 3

Agora derivada parcial em relação a y. O processo é análogo, só que a gente trata x como constante:
  1. T(x,y)=2,(x^2+y^2)^2.
  2. Pela regra da cadeia, igualzinho: partial Tpartial y =2;cdot2,(x^2+y^2);cdotddy(x^2+y^2) =4,(x^2+y^2)cdot2y =8,y,(x^2+y^2)
  3. Avaliando em (1,2) (de novo x^2+y^2=5): partial Tpartial y(1,2)=8cdot2cdot5=80 (°C/cm)

Resposta

Taxa de variação de T no ponto (1,2):
  • Na direção do eixo x: partial Tpartial x(1,2)=40 °C/cm.
  • Na direção do eixo y: partial Tpartial y(1,2)=80 °C/cm.

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