5^{\circ} ) Aplicar a regra primeira e a segunda regra de Simpson para calcular o valor da integral de senx entre 0 e \frac{\pi}{2} a partir dos sete valores dados na tabela abaixo, com \mathrm{n}=6. Comparar com o valor exato que é 1 e dizer qual é o melhor resultado se é o da 1^{\circ} regra ou da 2^{\circ},
X 0 \frac{\pi}{2} \frac{2 \pi}{12} \frac{3 \pi}{12} \frac{4 \pi}{12} \frac{5 \pi}{12} \frac{6 \pi}{12}
Y 0 0,255882 0,5 0,70711 0,86603 0,96593

Passo 1

O enunciado pede que a gente aproxime a integral
\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx
usando duas fórmulas de Newton–Cotes compostas com n=6 subintervalos:
  • a primeira regra de Simpson (regra 1/3 composta),
  • a segunda regra de Simpson (regra 3/8 composta).
    Temos os valores de y_i=\sin(x_i) em x_i = 0,\,\pi/12,\,2\pi/12,\,3\pi/12,\,4\pi/12,\,5\pi/12,\,6\pi/12.
    Vamos precisar de h=(b-a)/n=(\pi/2)/6=\pi/12 e das fórmulas compostas.

Passo 2

Para a regra 1/3 composta, a fórmula é
\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f_0 + f_6 + 4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{5}f_i + 2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{4}f_i\Bigr],
com h=\pi/12, f_i=\sin(x_i). Pelos dados:
\begin{aligned} f_0 &= 0, & f_1 &= 0{,}255882, & f_2 &= 0{,}5,\\\ f_3 &= 0{,}70711, & f_4 &= 0{,}86603, & f_5 &= 0{,}96593, & f_6 &= 1\,. \end{aligned}

Passo 3

Calculando as somas:
\sum_{i\text{ ímpar}}f_i = f_1+f_3+f_5 = 0{,}255882 + 0{,}70711 + 0{,}96593 = 1{,}928922,í
\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,6}f_i = f_2+f_4 = 0{,}5 + 0{,}86603 = 1{,}36603.
Logo
\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx \approx \frac{\pi/12}{3}\bigl[\,f_0+f_6 \;+\;4\cdot1{,}928922 \;+\;2\cdot1{,}36603\bigr] = \frac{\pi}{36}\times11{,}447748 \approx 0{,}99921.

Passo 4

Para a regra 3/8 composta, como n=6 é múltiplo de 3, a fórmula se agrupa em dois blocos de 3 subintervalos:
\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx \approx \frac{3h}{8}\Bigl[f_0+f_6 \;+\;3\,(f_1+f_2+f_4+f_5)\;+\;2\,f_3\Bigr],
onde novamente h=\pi/12.

Passo 5

Primeiro
f_1+f_2+f_4+f_5 = 0{,}255882+0{,}5+0{,}86603+0{,}96593 = 2{,}587842,
e 2f_3 = 1{,}41422. Então
\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx \approx \frac{3(\pi/12)}{8}\bigl[\,f_0+f_6 + 3\cdot2{,}587842 + 1{,}41422\bigr] = \frac{\pi}{32}\times10{,}177746 \approx 0{,}99919.

Passo 6

O valor exato da integral é 1.
  • Regra 1/3 composta deu 0{,}99921, erro \approx7,9\times10^{-4}.
  • Regra 3/8 composta deu 0{,}99919, erro \approx8,1\times10^{-4}.
    Portanto, a primeira regra de Simpson (1/3 composta) é ligeiramente mais precisa.

Resposta

Regra 1/3 composta: 0{,}99921
Regra 3/8 composta: 0{,}99919
A melhor aproximação é a da primeira regra de Simpson.

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