9^{\circ} - Através da soma das áreas de trapézios, encontrar um valor aproximado da integral indicada:
\int_{-4}^{+4} \frac{4}{2+x^{4}} d x
Utilizar nove subdivisões ( \mathrm{n}=9 ). Apresentar as operações numa tabela.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{-4}^{4}\frac{4}{2+x^{4}}\,dx
usando a regra do trapézio com n=9 subdivisões. Vamos precisar de:
  1. calcular o passo \,h=\frac{b-a}{n},
  2. listar os pontos x_i = a + i\,h e as alturas f(x_i)=\frac{4}{2+x_i^4},
  3. aplicar a fórmula do trapézio
T_n = h\Bigl(\tfrac{f(x_0)+f(x_n)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Bigr).

Passo 2

Calculemos o passo h:
h = \frac{4 - (-4)}{9} = \frac{8}{9} \approx 0,8888889.

Passo 3

Montamos a tabela de x_i e f(x_i). Note a simetria f(-x)=f(x):
i x_i = -4 + i\,h f(x_i)=\dfrac{4}{2+x_i^4}
0 -4 \approx0,015504
1 -3,111111 \approx0,041815
2 -2,222222 \approx0,151627
3 -1,333333 \approx0,775404
4 -0,444444 \approx1,961750
5 0,444444 \approx1,961750
6 1,333333 \approx0,775404
7 2,222222 \approx0,151627
8 3,111111 \approx0,041815
9 4 \approx0,015504

Passo 4

Aplicando a fórmula do trapézio:
T_9 = h\Bigl(\tfrac{f(x_0)+f(x_9)}{2} + \sum_{i=1}^{8} f(x_i)\Bigr).
Como f(x_0)=f(x_9)\approx0,015504,
\frac{f(x_0)+f(x_9)}{2} = 0,015504,
e somando simetricamente os demais termos encontra-se
\sum_{i=1}^{8} f(x_i)\approx 5,861192.
Logo
T_9 = 0,8888889 \times (0,015504 + 5,861192) \approx 0,8888889 \times 5,876696 \approx 5,22353.

Resposta

\displaystyle \int_{-4}^{4}\frac{4}{2+x^{4}}\,dx \approx 5,224 (aproximado pelo trapézio com n=9).

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