3^{\circ} ) Calcule \int_{0}^{2} x \cdot e^{x} d x com \mathrm{n}=6, usando a \gamma^{\circ} Regra de Simpson.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{2} x\,e^{x}\,dx
no intervalo [0,2] usando a Regra de Simpson 1/3 com n=6 subintervalos. O conteúdo aplicado é o de integração numérica: dividimos o intervalo em n partes, calculamos os valores da função nos nós e aplicamos a fórmula de Simpson.

Passo 2

Determinamos o tamanho de passo
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{6}=\frac{1}{3}
e os nós x_i = a + i\,h, i=0,1,\dots,6: x_0=0,\;x_1=\tfrac{1}{3},\;x_2=\tfrac{2}{3},\;x_3=1,\;x_4=\tfrac{4}{3},\;x_5=\tfrac{5}{3},\;x_6=2.

Passo 3

Calculamos f(x_i)=x_i e^{x_i} em cada nó: f_0=0\cdot e^0=0 f_1=\tfrac{1}{3}e^{1/3}\approx0,46520 f_2=\tfrac{2}{3}e^{2/3}\approx1,29915 f_3=1\cdot e^1\approx2,71828 f_4=\tfrac{4}{3}e^{4/3}\approx5,05822 f_5=\tfrac{5}{3}e^{5/3}\approx8,82415 f_6=2\cdot e^2\approx14,77811

Passo 4

Na Regra de Simpson 1/3 a aproximação é
\int_{0}^{2}x\,e^{x}dx\approx \frac{h}{3}\Bigl[f_0+f_6 +4(f_1+f_3+f_5)+2(f_2+f_4)\Bigr].
Aqui
f_0+f_6=0+14,77811=14,77811, \quad \sum_{\text{ímpares}}(f_1+f_3+f_5)=0,46520+2,71828+8,82415=12,00763,í
\sum_{\text{pares}}(f_2+f_4)=1,29915+5,05822=6,35737.

Passo 5

Substituindo em Simpson:
\frac{h}{3}=\frac{\tfrac{1}{3}}{3}=\frac{1}{9},
\int_{0}^{2}x\,e^{x}dx\approx \frac{1}{9}\bigl[14,77811 +4\cdot12,00763+2\cdot6,35737\bigr] =\frac{1}{9}\times75,52323\approx8,39147.

Resposta

A aproximação pelo Regra de Simpson com n=6 é \displaystyle8,3915.

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