8^{\circ} - Encontrar uma solução aproximada para a integral:
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{3}(x) d x
aplicando a regra do trapézio e tomando quatro subdivisões, ou seja, \mathrm{n}=4.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}(x)\,dx
usando a regra do trapézio com n=4 subdivisões. O conteúdo é a aplicação de métodos numéricos para integrais. Vamos precisar:
  1. dividir o intervalo em n pedaços iguais, encontrando o passo h;
  2. aplicar a fórmula do trapézio para somar os valores da função nos nós;
  3. calcular \cos^{3}(x) em cada ponto e montar a soma.

Passo 2

Primeiro, dividimos o intervalo [0,\pi/2] em 4 partes iguais. O comprimento do intervalo é \pi/2-0=\pi/2, então
h = \frac{\pi/2}{4} = \frac{\pi}{8}.
Os nós são
x_i = 0 + i\,h = i\,\frac{\pi}{8},\quad i=0,1,2,3,4.

Passo 3

A regra do trapézio com n subdivisões diz:
T_n = h\Bigl(\tfrac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\Bigr).
Aqui f(x)=\cos^{3}(x), n=4 e h=\pi/8.

Passo 4

Calculamos f(x_i)=\cos^{3}(x_i):
\begin{aligned} f(x_0)&=\cos^{3}(0)=1,\\\ f(x_1)&=\cos^{3}\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)\approx0,9239^{3}\approx0,7890,\\\ f(x_2)&=\cos^{3}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=(\tfrac{\sqrt2}{2})^{3}\approx0,3536,\\\ f(x_3)&=\cos^{3}\bigl(\tfrac{3\pi}{8}\bigr)\approx0,3827^{3}\approx0,0560,\\\ f(x_4)&=\cos^{3}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0. \end{aligned}

Passo 5

Substituímos na fórmula do trapézio:
T_4 = \frac{\pi}{8}\Bigl(\tfrac{1+0}{2}+0,7890+0,3536+0,0560\Bigr) =\frac{\pi}{8}(0,5+1,1986) =\frac{\pi}{8}\cdot1,6986.

Passo 6

Agora basta multiplicar numericamente:
\frac{\pi}{8}\approx0,3927,\quad T_4\approx0,3927\times1,6986\approx0,6670.

Resposta

A aproximação da integral pelo trapézio com n=4 é
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}(x)\,dx\approx0,6670.

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