7^{\circ} - Através da 2^{\mathrm{a}} regra de Simpson, com \mathrm{n}=6, calcular
I=\quad \int_{3}^{3,2} \ln (x+2) d x(1,5)

Passo 1

O enunciado pede aproximar
I = \int_{3}^{3,2} \ln(x+2)\,dx
usando a 2ª regra de Simpson (regra dos 3/8) com n=6. Vamos aplicar a fórmula composta dessa regra, que exige n múltiplo de 3.

Passo 2

O tamanho do passo é
h = \frac{b - a}{n} = \frac{3,2 - 3}{6} = \frac{0,2}{6} = 0,0333333\ldots
e os nós são
x_i = 3 + i\,h,\quad i = 0,1,\ldots,6.

Passo 3

Calculamos f_i = \ln(x_i + 2) para cada nó:
\begin{aligned} x_0 &= 3{,}000000,\quad &f_0 &= \ln(5) = 1,609438,\\\ x_1 &= 3{,}033333,\quad &f_1 &\approx \ln(5{,}033333) = 1,616083,\\\ x_2 &= 3{,}066667,\quad &f_2 &\approx 1,622682,\\\ x_3 &= 3{,}100000,\quad &f_3 &= \ln(5{,}1) = 1,629241,\\\ x_4 &= 3{,}133333,\quad &f_4 &\approx 1,635749,\\\ x_5 &= 3{,}166667,\quad &f_5 &\approx 1,642313,\\\ x_6 &= 3{,}200000,\quad &f_6 &= \ln(5{,}2) = 1,648659. \end{aligned}

Passo 4

A fórmula composta da regra dos 3/8 é
I \approx \frac{3h}{8}\Bigl[f_0 + f_6 + 2\sum_{\substack{0<i<6\i\equiv0\,(3)}}f_i \;+\;3\sum_{\substack{1\le i\le5\i\not\equiv0\,(3)}}f_i\Bigr].
Aqui o único i múltiplo de 3 no interior é i=3, e os demais são 1,2,4,5. Logo
I \approx \frac{3\cdot0,0333333}{8}\bigl(f_0+f_6+2f_3+3(f_1+f_2+f_4+f_5)\bigr).
Substituindo:
I \approx 0,0125\bigl(1,609438+1,648659 +2\cdot1,629241 +3(1,616083+1,622682+1,635749+1,642313)\bigr) \approx 0,325838.

Resposta

I \approx 0,3258.

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