Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a parábola mais próxima dos pontos ( x_{i}, y_{i} ) para a função y=f(x) tabelada abaixo. Calcule o desvio cometido.
x -3 -1 1 2 3
y -1 0 1 1 -1

Passo 1

Temos cinco pontos (-3,-1),(-1,0),(1,1),(2,1),(3,-1) e queremos ajustar por mínimos quadrados uma parábola
f(x)=a x^2 + b x + c.
O conteúdo é ajuste de polinômio de grau 2 por mínimos quadrados, que exige montar e resolver o sistema normal usando as somas \sum x_i^k e \sum x_i^k y_i.

Passo 2

Calculamos as somas necessárias:
\begin{aligned} n&=5,\\\ \sum_{i}x_i&=(-3) +(-1)+(1)+(2)+(3)=2,\\\ \sum_{i}x_i^2&=9+1+1+4+9=24,\\\ \sum_{i}x_i^3&=(-27)+(-1)+1+8+27=8,\\\ \sum_{i}x_i^4&=81+1+1+16+81=180,\\\ \sum_{i}y_i&=(-1)+0+1+1+(-1)=0,\\\ \sum_{i}x_i y_i&=(-3)(-1)+(-1)(0)+(1)(1)+(2)(1)+(3)(-1)=3+0+1+2-3=3,\\\ \sum_{i}x_i^2 y_i&=9(-1)+1\cdot0+1\cdot1+4\cdot1+9(-1)=-9+0+1+4-9=-13. \end{aligned}

Passo 3

O sistema normal para \,a,b,c é
\begin{cases} \sum y_i = a\sum x_i^2 + b\sum x_i + c\,n,\\\ \sum x_i y_i = a\sum x_i^3 + b\sum x_i^2 + c\sum x_i,\\\ \sum x_i^2 y_i = a\sum x_i^4 + b\sum x_i^3 + c\sum x_i^2. \end{cases}
Substituindo os valores:
\begin{cases} 0 = 24a + 2b + 5c,\\\\ 3 = 8a + 24b + 2c,\\\\ -13 = 180a + 8b + 24c. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema obtemos, em forma fracionária reduzida,
a = -\frac{53}{268}, \quad b = \frac{31}{268}, \quad c = \frac{121}{134}.
Logo a parábola ajustada é
f(x) = -\frac{53}{268}\,x^2 \;+\;\frac{31}{268}\,x \;+\;\frac{121}{134}.

Passo 5

Calculamos o desvio quadrático (soma dos quadrados dos resíduos):
\text{SSE} \;=\;\sum_{i=1}^{5}\bigl(y_i - f(x_i)\bigr)^{2} \;\approx\;1{,}0819.

Resposta

A parábola ajustada é
f(x) = -\frac{53}{268}\,x^2 + \frac{31}{268}\,x + \frac{121}{134},
e o desvio quadrático total é aproximadamente 1{,}0819.

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