Questăo 09. (1,0/ \qquad A funçăo P relaciona o preço de um produto (em reais) ao tempo decorrido desde o seu lançamento, sendo t=1 o momento do lançamento do produto. Estudos anteriores permitiram concluir que a lei dessa funçăo é dada por P(t)=3 t^{2}-2 t+ 5. Determine o preço médio mensal desse produto, considerando o perlodo compreendido entre o segundo e o quarto mês após o seu lançamento.

Passo 1

O enunciado dá a função P(t)=3t^{2}-2t+5, que representa o preço (em reais) de um produto em função do tempo t (em meses) após o seu lançamento. Queremos calcular o preço médio mensal no intervalo de t=2 até t=4. Para isso, usamos o conceito de valor médio de uma função contínua em [a,b].

Passo 2

O valor médio de uma função f em [a,b] é dado por
\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.
Aqui temos a=2, b=4 e f(t)=P(t). Assim,
\text{Preço médio} =\frac{1}{4-2}\int_{2}^{4}\bigl(3t^{2}-2t+5\bigr)\,dt.çé

Passo 3

Precisamos de uma antiderivada de P(t). Como \frac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2}, \frac{d}{dt}(-t^{2})=-2t e \frac{d}{dt}(5t)=5,
podemos escolher
F(t)=t^{3}-t^{2}+5t
como primitiva de P(t).

Passo 4

Avaliamo-la no intervalo:
\int_{2}^{4}\bigl(3t^{2}-2t+5\bigr)\,dt =F(4)-F(2).
Calculando:
F(4)=4^{3}-4^{2}+5\cdot4=64-16+20=68,
F(2)=2^{3}-2^{2}+5\cdot2=8-4+10=14,
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\int_{2}^{4}\bigl(3t^{2}-2t+5\bigr)\,dt =68-14=54.

Passo 5

O comprimento do intervalo é 4-2=2. Portanto, o preço médio é
\frac{54}{2}=27.

Resposta

O preço médio mensal entre o segundo e o quarto mês é de R$ 27,00.

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