A intensidade de uma fonte radioativa é dada por
I=I_{0} e^{-\alpha t}
Por meio de observação, temos que
t 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
I 3,16 2,38 1,75 1,34 1,0 0,74 0,56
Determine I_{0} e \alpha.
Exercícios computacionais Aplique o método dos Mínimos Quadrados a um experimento já realizado em disciplinas do seu curso. Contextualize. Calcule o desvio cometido.

Passo 1

O enunciado dá o modelo exponencial de decaimento
I = I_{0}e^{-\alpha t}
e nos fornece observações de (t,I). Queremos ajustar esse modelo aos dados pelo método dos mínimos quadrados, encontrando I_{0} e \alpha. Para isso, vamos linearizar o modelo usando \ln I e aplicar o ajuste linear clássico.

Passo 2

Definimos
x_i = t_i, \quad y_i = \ln I_i.
O ajuste linear pelo método dos mínimos quadrados para a reta
y = A + Bx
usa as fórmulas
B = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \quad A = \frac{\sum y_i - B\sum x_i}{n},
onde n é o número de pontos.

Passo 3

Com os dados fornecidos calculamos \sum x_i = 0{,}2+0{,}3+0{,}4+0{,}5+0{,}6+0{,}7+0{,}8=3{,}5, \sum y_i = \sum \ln I_i \approx 1{,}992, \sum x_i y_i \approx 0{,}1874, \sum x_i^2 = 0{,}2^2+\cdots+0{,}8^2=2{,}03,
e n=7.

Passo 4

Aplicando as fórmulas do ajuste:
B = \frac{7\cdot0{,}1874 - 3{,}5\cdot1{,}992}{7\cdot2{,}03 - (3{,}5)^2} \approx -2{,}887,
A = \frac{1{,}992 - (-2{,}887)\cdot3{,}5}{7} \approx 1{,}728.

Passo 5

Voltando aos parâmetros originais do modelo: \ln I_{0} = A implica
I_{0} = e^{A} \approx e^{1{,}728} \approx 5{,}63,
e
\alpha = -B \approx 2{,}89.

Passo 6

O desvio padrão dos resíduos em y é
\mathrm{SSE} = \sum_{i=1}^7 \bigl(y_i - (A + B x_i)\bigr)^2 \approx 0{,}000358,
\sigma = \sqrt{\frac{\mathrm{SSE}}{n-2}} = \sqrt{\frac{0{,}000358}{5}} \approx 0{,}0085.

Resposta

I_{0} \approx 5{,}63,\quad \alpha \approx 2{,}89,
desvio padrão dos resíduos em \ln I: \approx 0{,}0085.

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