Considere a equação f(x)=\tan (x)-x. Use o método da secante modificada com aproximação inicial x_{0}=4.5 para encontrar uma raiz no intervalo [4,5]. Apresente os valores obtidos nas 5 primeiras iterações.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de f(x)=\tan(x)-x no intervalo [4,5] usando o método da secante modificada, com aproximação inicial x_{0}=4,5. O conteúdo envolvido é método de raízes por diferenças finitas, em que aproximamos a derivada por
f'(x)\approx\frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta}
e aplicamos a iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})\,\Delta}{f(x_{n}+\Delta)-f(x_{n})}.

Passo 2

Escolhemos \Delta=0,01. Primeiro computamos
f(4,5)=\tan(4,5)-4,5\approx0,133\quad\text{e}\quad f(4,51)=\tan(4,51)-4,51\approx0,361.
Então
x_{1} =4,5-\frac{0,133\cdot0,01}{0,361-0,133} \approx4,49416.

Passo 3

Para n=1, calculamos
f(4,49416)\approx0,0348,\quad f(4,50416)\approx0,2519
e
x_{2} =4,49416-\frac{0,0348\cdot0,01}{0,2519-0,0348} \approx4,49256.

Passo 4

Para n=2, temos
f(4,49256)\approx-0,01456,\quad f(4,50256)\approx0,19244
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x_{3} =4,49256-\frac{-0,01456\cdot0,01}{0,19244-(-0,01456)} \approx4,49326.

Passo 5

Para n=3, obtemos
f(4,49326)\approx0,01774,\quad f(4,50326)\approx0,20674
e
x_{4} =4,49326-\frac{0,01774\cdot0,01}{0,20674-0,01774} \approx4,49232.

Passo 6

Para n=4, calculamos
f(4,49232)\approx-0,00032,\quad f(4,50232)\approx0,21168
e
x_{5} =4,49232-\frac{-0,00032\cdot0,01}{0,21168-(-0,00032)} \approx4,49233.

Resposta

x_{1}\approx4,49416 x_{2}\approx4,49256 x_{3}\approx4,49326 x_{4}\approx4,49232 x_{5}\approx4,49233

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