Utilize o método da falsa posição para encontrar a raiz de f(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 no intervalo [1,3.5]. Sabendo que a raiz real é x=1, calcule o erro verdadeiro ao final de cada iteração.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da falsa posição em \displaystyle f(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6
no intervalo [1,3{,}5] e, como já sabemos que a raiz exata é \,x=1, queremos calcular o erro verdadeiro \displaystyle e_{k}=|x_{\text{exato}}-x_{k}|
ao final de cada iteração.

Passo 2

Primeiro avaliamos as condições iniciais:
f(1)=1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6=0,
f(3{,}5)=(3{,}5)^3-6\,(3{,}5)^2+11\,(3{,}5)-6 =42{,}875-73{,}5+38{,}5-6=1{,}875.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da falsa posição para obter x_{1}:
x_{1} =\frac{x_{0}\,f(x_{1})-x_{1}\,f(x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})} =\frac{1\cdot1{,}875-3{,}5\cdot0}{1{,}875-0} =1.

Passo 4

Calculamos o erro verdadeiro na iteração 1:
e_{1} =\bigl|x_{\text{exato}}-x_{1}\bigr| =\bigl|1-1\bigr| =0.

Passo 5

Como e_{1}=0, já encontramos a raiz exata na primeira iteração e o método converge imediatamente.

Resposta

Após a primeira iteração, x_{1}=1 e o erro verdadeiro é e_{1}=0.

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