4^{\circ} ) Calcule: 1- REGRA DE SIMPSON
\int_{1}^{2} \frac{\ln x}{x+2} d x \operatorname{com} \mathrm{~h}=0,2

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I = \int_{1}^{2} \frac{\ln x}{x+2}\,dx
usando a regra composta de Simpson (1/3) com passo \,h=0,2.
O método exige os nós
x_i = 1 + i\,h,\quad i=0,1,\dots,n,
onde n=(2-1)/0,2=5.

Passo 2

Calculamos os nós x_i:
x_0=1{,}0,\; x_1=1{,}2,\; x_2=1{,}4,\; x_3=1{,}6,\; x_4=1{,}8,\; x_5=2{,}0.

Passo 3

Em cada nó, avaliamos f(x)=\dfrac{\ln x}{x+2}:
\begin{aligned} f(x_0)&=f(1{,}0)=\frac{\ln(1{,}0)}{1{,}0+2}=0,\\[6pt] f(x_1)&=\frac{\ln(1{,}2)}{1{,}2+2}\approx\frac{0,18232}{3{,}2}\approx0,05698,\\[6pt] f(x_2)&=\frac{\ln(1{,}4)}{1{,}4+2}\approx\frac{0,33647}{3{,}4}\approx0,09896,\\[6pt] f(x_3)&=\frac{\ln(1{,}6)}{1{,}6+2}\approx\frac{0,47000}{3{,}6}\approx0,13056,\\[6pt] f(x_4)&=\frac{\ln(1{,}8)}{1{,}8+2}\approx\frac{0,58779}{3{,}8}\approx0,15442,\\[6pt] f(x_5)&=\frac{\ln(2{,}0)}{2{,}0+2}\approx\frac{0,69315}{4{,}0}\approx0,17329. \end{aligned}]

Passo 4

A regra composta de Simpson (1/3) diz:
I \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+f(x_5) +4\bigl(f(x_1)+f(x_3)\bigr) +2\bigl(f(x_2)+f(x_4)\bigr)\Bigr].

Passo 5

Substituindo os valores:
\begin{aligned} f(x_0)+f(x_5)&=0 + 0{,}17329=0{,}17329,\\\\ 4\bigl(f(x_1)+f(x_3)\bigr)&=4(0{,}05698+0{,}13056)=4\cdot0{,}18754=0{,}75016,\\\\ 2\bigl(f(x_2)+f(x_4)\bigr)&=2(0{,}09896+0{,}15442)=2\cdot0{,}25338=0{,}50676,\\\ \text{ soma interna}&=0{,}17329+0{,}75016+0{,}50676=1{,}43021. \end{aligned}
Logo
I\approx \frac{0,2}{3}\times1{,}43021 =0{,}0666667\times1{,}43021 \approx0{,}09535.

Resposta

A aproximação pelo método de Simpson com h=0,2 é
\boxed{\,I\approx0{,}09535\,}.

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