4^{\circ} ) Calcule: 1- REGRA DE SIMPSON
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x+3}} d x \operatorname{com} \mathrm{n}=10

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x+3}}\,dx
usando a Regra de Simpson com n=10.
O conteúdo aqui é integração numérica: vamos aplicar a fórmula de Simpson
\int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0})+f(x_{n})+4\sum_{i\text{ ímpar}}f(x_{i})+2\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,n}f(x_{i})\Bigr]í
onde h=(b-a)/n e x_{i}=a+i\,h.

Passo 2

Calculamos o passo
h=\frac{1-0}{10}=0{,}1
e os nós
x_{i}=0+i\cdot0{,}1,\quad i=0,1,\dots,10.

Passo 3

Definimos
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x+3}}=(x+3)^{-\tfrac13}
e calculamos f(x_{i}) em cada nó (arredondando a 5 casas decimais):
\begin{aligned} f(x_{0})&=f(0)=(3)^{-\tfrac13}=0{,}69336,\\\ f(x_{1})&=f(0{,}1)=(3{,}1)^{-\tfrac13}=0{,}68574,\\\ f(x_{2})&=f(0{,}2)=0{,}67830,\\\ f(x_{3})&=f(0{,}3)=0{,}67124,\\\ f(x_{4})&=f(0{,}4)=0{,}66451,\\\ f(x_{5})&=f(0{,}5)=0{,}65806,\\\ f(x_{6})&=f(0{,}6)=0{,}65200,\\\ f(x_{7})&=f(0{,}7)=0{,}64674,\\\ f(x_{8})&=f(0{,}8)=0{,}64102,\\\ f(x_{9})&=f(0{,}9)=0{,}63471,\\\ f(x_{10})&=f(1)=(4)^{-\tfrac13}=0{,}62996. \end{aligned}

Passo 4

Agora somamos os termos ímpares e pares (exceto as extremidades):
\sum_{i\text{ ímpar}}f(x_{i}) =0{,}68574+0{,}67124+0{,}65806+0{,}64674+0{,}63471 =3{,}29649,í
\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,10}f(x_{i}) =0{,}67830+0{,}66451+0{,}65200+0{,}64102 =2{,}63583.

Passo 5

Aplicando a Regra de Simpson:
\int_{0}^{1}f(x)\,dx \approx \frac{0{,}1}{3}\Bigl[f(x_{0})+f(x_{10}) +4\cdot3{,}29649+2\cdot2{,}63583\Bigr].
Calculamos o interior do colchete:
f(x_{0})+f(x_{10})=0{,}69336+0{,}62996=1{,}32332,
4\cdot3{,}29649=13{,}18596,\quad 2\cdot2{,}63583=5{,}27166,
soma total =1{,}32332+13{,}18596+5{,}27166=19{,}78094.
Logo
\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x+3}}\,dx \approx \frac{0{,}1}{3}\times19{,}78094 =0{,}65936.

Resposta

A aproximação da integral por Simpson com n=10 é aproximadamente
0{,}65936.

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