3^{\circ} - Dada a tabela abaixo:
x_{i} -1 2 3
y_{i} 9 21 41
Determine uma aproximação para f(1,5), usando a interpolação de Lagrange. (1,5)

Passo 1

O enunciado dá três pontos (-1,9), (2,21) e (3,41) e pede uma aproximação de f(1,5) usando interpolação polinomial de Lagrange. Vamos construir o polinômio de grau 2 que passa por esses pontos e avaliá-lo em x=1,5.

Passo 2

Para Lagrange, escrevemos
P(x)=\sum_{i=0}^2 y_i\,L_i(x),
onde
L_0(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(-1-2)(-1-3)}=\frac{(x-2)(x-3)}{12},
L_1(x)=\frac{(x+1)(x-3)}{(2+1)(2-3)}=-\frac{(x+1)(x-3)}{3},
L_2(x)=\frac{(x+1)(x-2)}{(3+1)(3-2)}=\frac{(x+1)(x-2)}{4}.
Assim,
P(1,5)=9\,L_0(1,5)+21\,L_1(1,5)+41\,L_2(1,5).

Passo 3

Calculando cada base em x=1,5:
L_0(1,5)=\frac{(1,5-2)(1,5-3)}{12}=\frac{(-0,5)(-1,5)}{12}=0,0625,
L_1(1,5)=-\frac{(1,5+1)(1,5-3)}{3}=-\frac{(2,5)(-1,5)}{3}=1,25,
L_2(1,5)=\frac{(1,5+1)(1,5-2)}{4}=\frac{(2,5)(-0,5)}{4}=-0,3125.
Logo,
P(1,5)=9\cdot0,0625 + 21\cdot1,25 + 41\cdot(-0,3125) =0,5625 +26,25 -12,8125 =14.

Resposta

A aproximação obtida é f(1,5)\approx14.

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