Encontre a derivada de y em relação a x:
y=\sqrt{\frac{1-2 x}{3 x+2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \sqrt{\frac{1 - 2x}{3x + 2}}
com respeito a x. O conteúdo principal envolve regra da cadeia (para a raiz) e regra do quociente (para o argumento \tfrac{1-2x}{3x+2}).

Passo 2

Reescrevemos y em forma de potência:
y = \Bigl(\frac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr)^{\tfrac12}.
Assim, pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = \frac12 \Bigl(\frac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr)^{-\tfrac12} \cdot \frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr).

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente para
u(x) = 1 - 2x, \quad v(x) = 3x + 2.
Temos
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.
Aqui u' = -2 e v' = 3. Logo,
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr) = \frac{(-2)(3x + 2) - (1 - 2x)\,(3)}{(3x + 2)^2}.

Passo 4

Simplificamos o numerador:
(-2)(3x + 2) - 3(1 - 2x) = -6x - 4 - 3 + 6x = -7.
Assim,
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr) = \frac{-7}{(3x + 2)^2}.

Passo 5

Substituímos de volta em \tfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac12 \Bigl(\frac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr)^{-\tfrac12} \cdot \frac{-7}{(3x + 2)^2} = -\frac{7}{2\,(3x + 2)^2} \Bigl(\frac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr)^{-\tfrac12}.
Podemos reescrever \bigl(\tfrac{1 - 2x}{3x + 2}\bigr)^{-\tfrac12} como \displaystyle \frac{1}{\sqrt{\tfrac{1 - 2x}{3x + 2}}}.

Passo 6

Juntando tudo,
\frac{dy}{dx} = -\frac{7}{2\,(3x + 2)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - 2x}{3x + 2}}} = -\frac{7}{2\,(3x + 2)^2\,\sqrt{\frac{1 - 2x}{3x + 2}}}.

Resposta

\boxed{ \frac{dy}{dx} = -\frac{7}{2\,(3x + 2)^2\,\sqrt{\frac{1 - 2x}{3x + 2}}} }.

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