Encontre a derivada de y em relação a x:
g(t)=(3 x+1) \sqrt{6 x+5}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x) = (3x+1)\,\sqrt{6x+5}
e pede sua derivada em relação a x. Vamos usar a regra do produto e, para a parte \sqrt{6x+5}, a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos a raiz como potência:
g(x) = (3x+1)\,(6x+5)^{\tfrac12}.
Definimos
u(x)=3x+1,\quad v(x)=(6x+5)^{\tfrac12}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Calculamos cada derivada:
u'(x)=3, \quad v'(x)=\frac12\,(6x+5)^{-\tfrac12}\cdot6 =3\,(6x+5)^{-\tfrac12}.

Passo 4

Substituindo em g'(x):
g'(x) =3\,(6x+5)^{\tfrac12} +(3x+1)\,3\,(6x+5)^{-\tfrac12}.

Passo 5

Fatoramos 3\,(6x+5)^{-\tfrac12}:
g'(x) =3\,(6x+5)^{-\tfrac12}\bigl((6x+5)+(3x+1)\bigr) =3\,(6x+5)^{-\tfrac12}(9x+6).
Ou seja,
g'(x)=\frac{3(9x+6)}{\sqrt{6x+5}} =\frac{27x+18}{\sqrt{6x+5}} =9\,\frac{3x+2}{\sqrt{6x+5}}.

Resposta

g'(x)=9\,\frac{3x+2}{\sqrt{6x+5}}.

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