3^{\circ} ) Determinar o valor aproximado de f(0,2) pela aplicação da interpolação quadrática, no cálculo deste valor, usando os valores da funçāo f(x)=x^{2}-2 x+1. Trabalhar com 2 casas decimais.
xi 0,5 0,3 0,1
\mathrm{y}_{\mathrm{i}} 0,25 0,49 0,81

Passo 1

O enunciado pede para estimar f(0,2) por interpolação quadrática, usando os três pontos (x_i,y_i) abaixo, onde
f(x)=x^{2}-2x+1,
(x_0,y_0)=(0{,}5,0{,}25),\quad (x_1,y_1)=(0{,}3,0{,}49),\quad (x_2,y_2)=(0{,}1,0{,}81).
Vamos usar o polinômio de Lagrange de grau 2 para obter P_2(x) e calcular P_2(0{,}2).

Passo 2

O polinômio de Lagrange de grau 2 é
P_2(x)=\sum_{i=0}^{2}y_i\,L_i(x),
onde
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{2}\frac{x - x_j}{x_i - x_j}.

Passo 3

Calculamos cada base em x=0{,}2:
L_0(0{,}2)=\displaystyle\frac{(0{,}2-0{,}3)(0{,}2-0{,}1)}{(0{,}5-0{,}3)(0{,}5-0{,}1)} =\frac{(-0{,}1)(0{,}1)}{(0{,}2)(0{,}4)}=-0{,}125.
L_1(0{,}2)=\displaystyle\frac{(0{,}2-0{,}5)(0{,}2-0{,}1)}{(0{,}3-0{,}5)(0{,}3-0{,}1)} =\frac{(-0{,}3)(0{,}1)}{(-0{,}2)(0{,}2)}=0{,}75.
L_2(0{,}2)=\displaystyle\frac{(0{,}2-0{,}5)(0{,}2-0{,}3)}{(0{,}1-0{,}5)(0{,}1-0{,}3)} =\frac{(-0{,}3)(-0{,}1)}{(-0{,}4)(-0{,}2)}=0{,}375.

Passo 4

Substituindo em P_2(0{,}2)=y_0L_0(0{,}2)+y_1L_1(0{,}2)+y_2L_2(0{,}2):
P_2(0{,}2)=0{,}25\cdot(-0{,}125)+0{,}49\cdot0{,}75+0{,}81\cdot0{,}375 =-0{,}03125+0{,}3675+0{,}30375=0{,}64.

Resposta

f(0,2)\approx0,64

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