7^{\circ} ) Usando o Interpolador de Lángrange e o Interpolador de Newton, determine Pn (x) e calcule P2(5)
\mid 0 1 2
x 2 4 6
y -18 28 106

Passo 1

O enunciado fornece três pontos (2,-18), (4,28) e (6,106) e pede o polinômio interpolador de grau 2, P_2(x), usando as fórmulas de Lagrange e de Newton, e em seguida o valor P_2(5). Vamos usar os conceitos de base de Lagrange e de diferenças divididas de Newton.

Passo 2

Construindo o polinômio na forma de Lagrange, definimos as bases
L_0(x)=\frac{(x-4)(x-6)}{(2-4)(2-6)},\quad L_1(x)=\frac{(x-2)(x-6)}{(4-2)(4-6)},\quad L_2(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{(6-2)(6-4)}.
Substituindo os valores de y, temos
P_2(x) =-18\,L_0(x)+28\,L_1(x)+106\,L_2(x).

Passo 3

Para simplificar, calculamos cada coeficiente:
L_0(x)=\frac{(x-4)(x-6)}{8},\; L_1(x)=-\frac{(x-2)(x-6)}{4},\; L_2(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{8}.
Logo
P_2(x) =-18\cdot\frac{(x-4)(x-6)}{8} +28\cdot\Bigl(-\frac{(x-2)(x-6)}{4}\Bigr) +106\cdot\frac{(x-2)(x-4)}{8},
e, ao expandir e somar termos, chega-se à forma padrão
P_2(x)=4x^2 - x - 32.

Passo 4

Na forma de Newton, tomamos x_0=2, x_1=4, x_2=6 e construímos as diferenças divididas:
f[x_0]=-18,\quad f[x_0,x_1]=\frac{28-(-18)}{4-2}=23,\quad f[x_1,x_2]=\frac{106-28}{6-4}=39,
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{39-23}{6-2}=4.
Portanto
P_2(x) =-18 + 23\,(x-2) + 4\,(x-2)(x-4).

Passo 5

Para encontrar P_2(5), usamos a forma padrão ou Newton. Pela forma padrão:
P_2(5)=4\cdot5^2 - 5 - 32 = 100 - 5 - 32 = 63.

Resposta

O polinômio interpolador é
P_2(x)=4x^2 - x - 32
(padrão), equivalente a
P_2(x)=-18 + 23\,(x-2) + 4\,(x-2)(x-4)
(forma de Newton), e
P_2(5)=63.

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