2^{\circ} ) Encontre o polinômio interpolador de ordem 2 que ajusta os pontos abaixo:
P_{2}(3)=1,5
P_{2}(9)=4,5
P_{2}(20)=6
Utilizando o método de eliminação de Gauss para triangularizar o sistema de equaçōes e em seguida calcule \mathrm{P}_{2}(5).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio interpolador de grau 2, digamos
P_{2}(x) = a\,x^{2} + b\,x + c,
que satisfaz os pontos (3,1{,}5), (9,4{,}5) e (20,6), usando eliminação de Gauss para triangularizar o sistema e, em seguida, calcular P_{2}(5).

Passo 2

Para cada ponto geramos uma equação em a,b,c:
\begin{cases} 9a + 3b + c = 1{,}5,\\\\ 81a + 9b + c = 4{,}5,\\\\ 400a + 20b + c = 6. \end{cases}

Passo 3

Subtraindo a primeira equação das duas últimas para eliminar c, obtemos o sistema triangular:
\begin{cases} 9a + 3b + c = 1{,}5,\\\\ 72a + 6b = 3,\\\\ 391a + 17b = 4{,}5. \end{cases}

Passo 4

Eliminamos b das duas últimas equações: multiplicando 72a+6b=3 por 17 e 391a+17b=4{,}5 por 6, subtraímos e achamos
1122a = -24 \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{24}{1122} = -\frac{4}{187}.
Retro-substituindo em 72a+6b=3, vem
6b = 3 - 72\bigl(-\tfrac{4}{187}\bigr) = 3 + \tfrac{288}{187} = \tfrac{561+288}{187} = \tfrac{849}{187} \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{849}{6\cdot187} = \frac{283}{374}.
Finalmente, de 9a+3b+c=1{,}5,
c = 1{,}5 - 9\bigl(-\tfrac{4}{187}\bigr) - 3\bigl(\tfrac{283}{374}\bigr) = \frac{3}{2} + \frac{36}{187} - \frac{849}{374} = -\frac{108}{187}.

Passo 5

Portanto o polinômio interpolador é
P_{2}(x) = -\frac{4}{187}\,x^{2} + \frac{283}{374}\,x \;-\;\frac{108}{187}.

Passo 6

Para x=5,
P_{2}(5) = -\frac{4}{187}\cdot25 \;+\;\frac{283}{374}\cdot5 \;-\;\frac{108}{187} = \frac{999}{374}\approx2{,}669.

Resposta

\displaystyle P_{2}(5)=\frac{999}{374}\approx2{,}669.

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