Um corpo com massa inicial de 200 Kg está em movimento sob a ação de uma força constante de 2000 N . Sabendo-se que esse corpo está perdendo 1 Kg de sua massa por segundo e considerando que a resistência do ar é o dobro de sua velocidade e que o corpo está em repouso no instante t=0, então a EDO que descreve a variação de sua velocidade é dada por
\left\{\begin{array}{l} v^{\prime}(t)=\frac{200-2 v(t)}{200-t} \\\ v(0)=0 \end{array} \quad \forall t>0 .\right.
Determine a velocidade do corpo v(t) no instante t=2 segundos com intervalos de 0.5 segundos, usando o Método de Runge-Kutta de 2^{0} ordem.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
v'(t) = \frac{200 - 2\,v(t)}{200 - t},\quad v(0)=0,
e pede para aproximar v(t) em t=0{,}5, 1{,}0, 1{,}5 e 2{,}0 usando o método de Runge-Kutta de 2ª ordem (método do ponto médio) com passo h=0{,}5.

Passo 2

Definimos
f(t,v) = \frac{200 - 2v}{200 - t}.
No método do ponto médio temos, para cada iteração n:
k_1 = f(t_n, v_n),
k_2 = f\!\bigl(t_n + \tfrac{h}{2},\,v_n + \tfrac{h}{2}\,k_1\bigr),
v_{n+1} = v_n + h\,k_2,
com t_{n+1}=t_n+h e v_0=0, t_0=0.

Passo 3

Cálculo de v(0{,}5):
k_1 = f(0,0)=\frac{200-2\cdot0}{200-0}=1,
k_2 = f\bigl(0{,}25,\,0 + 0{,}25\cdot1\bigr) = \frac{200 - 2\cdot0{,}25}{200 - 0{,}25} = \frac{199{,}5}{199{,}75}\approx0{,}99875,
v(0{,}5)=v_1 = 0 + 0{,}5\cdot0{,}99875 \approx 0{,}49937.

Passo 4

Cálculo de v(1{,}0):
k_1 = f\bigl(0{,}5,\,0{,}49937\bigr) = \frac{200 - 2\cdot0{,}49937}{200 - 0{,}5} = \frac{199{,}00126}{199{,}5}\approx0{,}99752,
k_2 = f\bigl(0{,}75,\,0{,}49937+0{,}25\cdot0{,}99752\bigr) = f(0{,}75,\,0{,}74875) = \frac{200 - 2\cdot0{,}74875}{200 - 0{,}75} = \frac{198{,}5025}{199{,}25}\approx0{,}99624,
v(1{,}0)=v_2 = 0{,}49937 + 0{,}5\cdot0{,}99624 \approx 0{,}99749.

Passo 5

Cálculo de v(1{,}5):
k_1 = f\bigl(1{,}0,\,0{,}99749\bigr) = \frac{200 - 2\cdot0{,}99749}{200 - 1} = \frac{198{,}00502}{199}\approx0{,}99500,
k_2 = f\bigl(1{,}25,\,0{,}99749+0{,}25\cdot0{,}99500\bigr) = f(1{,}25,\,1{,}24624) = \frac{200 - 2\cdot1{,}24624}{200 - 1{,}25} = \frac{197{,}50752}{198{,}75}\approx0{,}99368,
v(1{,}5)=v_3 = 0{,}99749 + 0{,}5\cdot0{,}99368 \approx 1{,}49433.

Passo 6

Cálculo de v(2{,}0):
k_1 = f\bigl(1{,}5,\,1{,}49433\bigr) = \frac{200 - 2\cdot1{,}49433}{200 - 1{,}5} = \frac{197{,}01134}{198{,}5}\approx0{,}99249,
k_2 = f\bigl(1{,}75,\,1{,}49433+0{,}25\cdot0{,}99249\bigr) = f(1{,}75,\,1{,}74245) = \frac{200 - 2\cdot1{,}74245}{200 - 1{,}75} = \frac{196{,}5151}{198{,}25}\approx0{,}99114,
v(2{,}0)=v_4 = 1{,}49433 + 0{,}5\cdot0{,}99114 \approx 1{,}98990.

Resposta

As aproximações de v(t) são:
v(0{,}5)\approx0{,}4994,
v(1{,}0)\approx0{,}9975,
v(1{,}5)\approx1{,}4943,
v(2{,}0)\approx1{,}9899.

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