a) Coloque o sistema x1+x4 & =2 x1+4 x2-x4 & =2 2 x1+x3 & =3 2 x3+x4 & =3 de forma que sempre convirja o método de Gauss-Seidel;
b) Faça duas iterações do método, tomando x^(0)=(0,0,0,0)^t.

Passo 1

Temos o sistema
x1+x4=2 x1+4x2-x4=2 2x1+x3=3 2x3+x4=3
O conteúdo é o método de Gauss–Seidel e vamos precisar aplicar o critério de Sassenfeld para garantir convergência e depois fazer duas iterações.

Passo 2

Procuramos uma ordem das equações (permutações de linhas) que satisfaça o critério de Sassenfeld. Testando a permutação p=(3,2,4,1), isto é, primeiro a equação 3, depois a 2, depois a 4 e por fim a 1, reescrevemos o sistema na ordem:
2x1+x3=3 x1+4x2-x4=2 2x3+x4=3 x1+x4=2

Passo 3

Para essa ordem, calculamos os coeficientes de Sassenfeld:
beta1&=|a13||a11|=12=0.5, beta2&=|a21|,beta1+|a24||a22|=1cdot0.5+14=0.375, beta3&=|a34||a33|=12=0.5, beta4&=|a41|,beta1|a44|=1cdot0.51=0.5
Como todos os betai<1, o método de Gauss–Seidel converge para qualquer chute inicial.

Passo 4

Reescrevemos cada equação na forma de iteração Gauss–Seidel (na ordem acima):
x1^(k+1)&=3 - x3^(k)2, x2^(k+1)&=2 - x1^(k+1) + x4^(k)4, x3^(k+1)&=3 - x4^(k)2, x4^(k+1)&=2 - x1^(k+1)

Passo 5

Partindo de x^(0)=(0,0,0,0)^T, calculamos:
1ª iteração:
x1^(1)&=(3-0)/2=1.5, x2^(1)&=(2-1.5+0)/4=0.125, x3^(1)&=(3-0)/2=1.5, x4^(1)&=2-1.5=0.5,
2ª iteração:
x1^(2)&=(3-1.5)/2=0.75, x2^(2)&=(2-0.75+0.5)/4=0.4375, x3^(2)&=(3-0.5)/2=1.25, x4^(2)&=2-0.75=1.25

Resposta

a) Para garantir convergência, permutamos as equações na ordem (3,2,4,1), obtendo o sistema
2x1+x3=3 x1+4x2-x4=2 2x3+x4=3 x1+x4=2
que satisfaz o critério de Sassenfeld (todas as betai<1). b) As duas primeiras aproximações via Gauss–Seidel, a partir de x^(0)=(0,0,0,0)^T, são
x^(1)=(1.5,;0.125,;1.5,;0.5)^T, x^(2)=(0.75,;0.4375,;1.25,;1.25)^T

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