Compare o método da secante com o método da posição falsa: semelhanças, diferenças e condições inicias.

Passo 1

O enunciado pede para comparar dois métodos iterativos de busca de raiz: o método da secante e o método da posição falsa (Regula Falsi). O conteúdo da matéria é métodos numéricos para aproximação de raízes de funções não lineares e vamos precisar conhecer as fórmulas de iteração de cada método e as condições iniciais que garantem convergência.

Passo 2

O método da secante gera a próxima aproximação da raiz usando duas estimativas anteriores e a interpolação linear entre os pares (x_{n-2},f(x_{n-2})) e (x_{n-1},f(x_{n-1})). A fórmula de iteração é
xn = xn-1 - f(xn-1)xn-1-xn-2f(xn-1)-f(xn-2)
Não exige que f(x) seja de sinais opostos nos pontos iniciais, mas costuma exigir que as estimativas iniciais estejam razoavelmente próximas da raiz para garantir convergência.

Passo 3

O método da posição falsa (Regula Falsi) também usa dois pontos iniciais x_0 e x_1, mas impõe a condição f(x_0)·f(x_1)<0 para garantir que exista raiz no intervalo [x_0,x_1] (Teorema do Valor Intermediário). A iteração calcula
xn = x1f(x0) - x0f(x1)f(x0) - f(x1),
e atualiza o intervalo escolhendo o subintervalo onde o sinal de f muda.

Passo 4

Ambos usam interpolação linear entre dois pontos para gerar a nova aproximação e não exigem cálculo de derivada. São métodos de ordem de convergência aproximada 1,62 (secante) e linear (posição falsa).

Passo 5

A principal diferença é que a posição falsa mantém sempre duas estimativas que delimitam a raiz (garantindo f de sinais opostos), o que assegura convergência global, mas pode levar a convergência mais lenta ou estagnar. A secante não mantém esse bracketing e pode divergir ou oscilar, mas quando converge geralmente é mais rápida que a posição falsa.

Resposta

Semelhanças: ambos usam interpolação linear de dois pontos, não necessitam de derivada e têm convergência superlinear (secante) ou linear (posição falsa). Diferenças: a posição falsa exige f(x_0)·f(x_1)<0 e preserva o intervalo de bracketing, garantindo convergência global; a secante não requer mudança de sinal e pode convergir mais rápido, mas não é garantida a convergência sem condições adicionais. Condições iniciais: secante precisa de duas estimativas próximas da raiz; posição falsa precisa de dois pontos que contenham a raiz (sinais opostos).

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