Seja a seguinte equação x^2-x-2=0
a) obter possíveis (4 ou 5) funções de iteração para o MIL. Faça isto isolando o valor de x.
b) Teste as funções obtidas no item a utilizando as condições de convergência e diga quais delas geram seqüências convergentes para obter o zero próximo a x0=1.7.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Método da Iteração de Ponto Fixo (MIL) na equação x^2 - x - 2 = 0. Vamos precisar isolar x de várias formas, obtendo diferentes funções de iteração phi(x), e depois testar a condição de convergência |phi'(r)|<1 no zero próximo a x0=1.7 (que é a raiz r=2).

Passo 2

Para gerar cinco iterações, vamos escrever a equação sob diferentes isolamentos de x. Temos as seguintes cinco funções:
phi1(x)=x^2-2
phi2(x)=raizx+2
phi3(x)=-raizx+2
phi4(x)=2x-1
phi5(x)=1+2x

Passo 3

Agora aplicamos a condição de convergência do MIL, que diz que se r é a raiz buscada, precisamos de |phi'(r)|<1 para garantir convergência local. Como o zero próximo a x0=1.7 é r=2, calculamos cada derivada em x=2:
  • phi1'(x)=2x, logo phi1'(2)=4 (diverge).
  • phi2'(x)=dfrac12raizx+2, logo phi2'(2)=1/4 (converge).
  • phi3'(x)=-dfrac12raizx+2, logo |phi3'(2)|=1/4 (satisfaz, mas leva à raiz -1, não à +2).
  • phi4'(x)=-dfrac2(x-1)^2, logo |phi4'(2)|=2 (diverge).
  • phi5'(x)=-dfrac2x^2, logo |phi5'(2)|=1/2 (converge).

Passo 4

Das cinco funções obtidas, apenas phi2 e phi5 geram iterações que convergem para r=2 a partir de x0=1.7, pois só nelas temos |phi'(2)|<1 e a iteração permanece próxima de 2.

Resposta

As funções de iteração que convergem para o zero próximo a x0=1.7 são
phi2(x)=raizx+2ephi5(x)=1+2x

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