a) Deduza a função de iteração do método de Newton através de sua interpretação geométrica.
b) Compare o método de Newton com o método da secante.
b) Compare o método de Newton com o método da secante.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) deduzir a função de iteração do método de Newton usando sua interpretação geométrica, e (b) comparar esse método com o método da secante. O conteúdo envolve conceitos de cálculo diferencial e aproximação de raízes de uma função.
Passo 2
A interpretação geométrica parte de um ponto aproximado x_n sobre o eixo x, cujo ponto na curva é P=(x_n,f(x_n)). Traçamos a reta tangente à curva em P. Essa reta tem coeficiente angular dado por f’(x_n) e passa por (x_n,f(x_n)).
A equação da reta tangente em P é
A equação da reta tangente em P é
Para encontrar a próxima aproximação x_{n+1}, fazemos y=0 e resolvemos para x.
Passo 3
Zerando a reta e isolando x, obtemos
Isso define a função de iteração
.
Passo 4
Comparando Newton e secante: o método de Newton usa a derivada exata f’(x_n) e converge quadraticamente (ordem 2) perto da raiz, exigindo avaliação de f e f’. Já o método da secante aproxima a derivada com a inclinação entre dois pontos anteriores, não precisa de f’ explícita, tem convergência superlinear (ordem ≈1,618) e é mais econômico em função de derivadas, mas converge mais lentamente.
Resposta
(a) A função de iteração do método de Newton é
(b) Newton: usa derivada exata, convergência quadrática, exige f’. Secante: aproxima derivada entre dois pontos, convergência superlinear (~1,618), não exige f’ mas converge mais devagar.