(a) para que valores de alpha haverá convergência se desejarmos utilizar o método de Jacobi?
(b) Tomando alpha=1 e x^(0)=(1,2,3)^t, a aplicação do método de Jacobi fornece a tabela:
O que voce observa? Existe alguma contradição com o item (a)?
Passo 1
O enunciado pede pra estudar a convergência do método de Jacobi para o sistema \[alpha & 2 & -21 & alpha & 12 & 2 & alphax1x2x3=123.\
Aqui o conteúdo é método iterativo de Jacobi e vamos precisar montar a matriz de iteração e ver seu raio espectral.
Passo 2
O método de Jacobi parte de escrever A=D+L+U, onde D é a diagonal de A e L+U são as partes estritamente triangular inferior e superior. A iteração é
x^(k+1) = -D^-1(L+U)x^(k) + D^-1b,
e a convergência exige que o raio espectral de BJ=-D^-1(L+U) seja menor que 1.
Chamando BJ = -D^-1(L+U) = -1alphanobreak0&2&-21&0&12&2&0 , nota-se que o polinômio característico de N=L+U é N, ou seja, todos os autovalores de det(N-mu I)=-mu^3 são zero. Então os autovalores de N valem BJ e o raio espectral de -mu/alpha=0 é 0 para todo BJ.
Passo 4
Isso significa que o método de Jacobi converge sempre que A é inversível, ou seja, sempre que det A=alpha^3neq0. Portanto, a condição necessária e suficiente é
alphaneq0
(Se quisermos uma condição simples e suficiente sem olhar o raio espectral, notamos ainda que A é estritamente diagonal dominante se |alpha|>|2|+|-2|=4 e |alpha|>|1|+|1|=2, ou seja, se |alpha|>4.)
Passo 5
Para alpha=1 e x^(0)=(1,2,3)^t a tabela mostra que em duas iterações a solução estaciona em x^(2)=(-1,2,1), que é a solução exata do sistema. Então o método converge e não há contradição: mesmo fora da faixa de dominância diagonal estrita (aqui |1|not>4), o raio espectral nulo garante convergência rápida.
Resposta
(a) Converge para todo alphaneq0 (suficientemente, para |alpha|>4 há dominância diagonal). (b) Para alpha=1 o método atinge a solução exata em duas iterações e não há contradição com (a).