Dado o sistema linear:
[ccc alpha & 2 & -2 1 & alpha & 1 2 & 2 & alpha ][l x1 x2 x3 ]=[l 1 2 3 ],
(a) para que valores de alpha haverá convergência se desejarmos utilizar o método de Jacobi?
(b) Tomando alpha=1 e x^(0)=(1,2,3)^t, a aplicação do método de Jacobi fornece a tabela:
|r|rrrr| hline$k$ & 0 & 1 & 2 & 3 hline$x1$ & 1 & 3 & -1 & -1 $x2$ & 2 & -2 & 2 & 2 $x3$ & 3 & -3 & 1 & 1 hline 0 1 2 3
1 3 -1 -1
2 -2 2 2
3 -3 1 1
O que voce observa? Existe alguma contradição com o item (a)?

Passo 1

O enunciado pede pra estudar a convergência do método de Jacobi para o sistema \[ alpha & 2 & -21 & alpha & 12 & 2 & alpha x1x2x3= 123.\
Aqui o conteúdo é método iterativo de Jacobi e vamos precisar montar a matriz de iteração e ver seu raio espectral.

Passo 2

O método de Jacobi parte de escrever A=D+L+U, onde D é a diagonal de A e L+U são as partes estritamente triangular inferior e superior. A iteração é
x^(k+1) = -D^-1(L+U)x^(k) + D^-1b,
e a convergência exige que o raio espectral de BJ=-D^-1(L+U) seja menor que 1.

Passo 3

Aqui temos
D=alpha&0&00&alpha&00&0&alpha, L+U=0&2&-21&0&12&2&0
Logo
Chamando BJ = -D^-1(L+U) = -1alphanobreak0&2&-21&0&12&2&0 , nota-se que o polinômio característico de N=L+U é N, ou seja, todos os autovalores de det(N-mu I)=-mu^3 são zero. Então os autovalores de N valem BJ e o raio espectral de -mu/alpha=0 é 0 para todo BJ.

Passo 4

Isso significa que o método de Jacobi converge sempre que A é inversível, ou seja, sempre que det A=alpha^3neq0. Portanto, a condição necessária e suficiente é
alphaneq0
(Se quisermos uma condição simples e suficiente sem olhar o raio espectral, notamos ainda que A é estritamente diagonal dominante se |alpha|>|2|+|-2|=4 e |alpha|>|1|+|1|=2, ou seja, se |alpha|>4.)

Passo 5

Para alpha=1 e x^(0)=(1,2,3)^t a tabela mostra que em duas iterações a solução estaciona em x^(2)=(-1,2,1), que é a solução exata do sistema. Então o método converge e não há contradição: mesmo fora da faixa de dominância diagonal estrita (aqui |1|not>4), o raio espectral nulo garante convergência rápida.

Resposta

(a) Converge para todo alphaneq0 (suficientemente, para |alpha|>4 há dominância diagonal). (b) Para alpha=1 o método atinge a solução exata em duas iterações e não há contradição com (a).

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