Suponha que o dinheiro valha 10 \% ao mês para um comerciante que vende determinado produto por \mathrm{R} \$ 4200,00 à vista.
(a) Se o comerciante deseja oferecer o produto para compra em duas prestações iguais, a primeira no ato da compra, qual deve ser o valor dessas prestações?
(b) Suponha que ele deseja oferecer o produto em 10 prestações iguais, a primeira no ato da compra. Escreva uma expressão que permita calcular o valor da prestação.

Passo 1

O enunciado trata de equivalência de valores de fluxo de caixa com taxa de juros de 10 % ao mês e preço à vista de R$4200,00. Para prestações iguais com a primeira no ato da compra (mês 0), usaremos o conceito de valor presente: o somatório dos valores descontados a mês 0 deve ser R$ 4200,00.

Passo 2

Para duas prestações iguais de valor X, uma paga no ato (mês 0) e outra em 1 mês, o valor presente é
PV = X + \frac{X}{1+0{,}1} = 4200.
Como 1+0{,}1=1{,}1, temos
X\Bigl(1 + \tfrac{1}{1{,}1}\Bigr) = 4200 \quad\Longrightarrow\quad X = \frac{4200}{1 + \tfrac{1}{1{,}1}} = \frac{4200}{\tfrac{2{,}1}{1{,}1}} = 4200\cdot\frac{1{,}1}{2{,}1} = 2200.

Passo 3

Para dez prestações iguais de valor X, com a primeira em mês 0 e a última em mês 9, o valor presente é
PV = X\sum_{k=0}^{9}\frac{1}{(1{,}1)^{k}} = 4200.
Logo, o valor de cada prestação satisfaz
X = \frac{4200}{\displaystyle\sum_{k=0}^{9}(1{,}1)^{-k}}.
Em forma fechada, usando a soma de progressão geométrica de termo inicial 1 e razão (1{,}1)^{-1},
\sum_{k=0}^{9}(1{,}1)^{-k} = \frac{1 - (1{,}1)^{-10}}{1 - (1{,}1)^{-1}}
e portanto
X = 4200 \,\frac{1 - (1{,}1)^{-1}}{1 - (1{,}1)^{-10}}.

Resposta

(a) R$ 2200,00.
(b) \displaystyle X = \frac{4200}{\sum_{k=0}^{9}(1{,}1)^{-k}}, ou equivalentemente
X = 4200 \,\frac{1 - (1{,}1)^{-1}}{1 - (1{,}1)^{-10}}.

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