Problema 06. (American Regions Mathematics League - adaptada) Sabendo que o valor d expressão
pode ser escrito da forma
onde
e
sã inteiros positivos primos entre si. O valor de
é igual a:
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e diz que esse valor pode ser escrito na forma
com
e
inteiros positivos primos entre si. A pergunta é: qual é o valor de
?
Informações relevantes dadas:
- Os ângulos são
para . - Queremos identificar
e e então calcular .
Passo 2
Vamos usar a identidade trigonométrica do ângulo duplo, que é uma ferramenta simples e muito útil:
Dessa identidade isolamos
:
Aplicando essa fórmula ao produto pedido, para
com
, obtemos (fazendo o produto sobre
):
Então o produto de cossenos é a razão entre o produto das
e
vezes o produto das
.
Passo 3
Agora precisamos comparar
com
.
Observe que, para ,
Observe que, para
Usando a identidade
, transformamos os termos com índice maior que
em termos equivalentes com índice entre
e
:
Portanto, como conjunto (ou multiconjunto) os valores
para
são exatamente os mesmos valores de
para
, só possivelmente em outra ordem. Conclusão importante:
Passo 4
Substituindo a igualdade do Passo 3 na expressão do Passo 2, obtemos:
As multiplicações por
cancelam (são todas não nulas), sobrando:
Passo 5
Portanto a expressão vale
. Identificando
e
, nota-se que
e
são primos entre si.
Resposta
33