Problema 06. (American Regions Mathematics League - adaptada) Sabendo que o valor d expressão \cos \left(\frac{\pi}{11}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{11}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{11}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{11}\right) \cos \left(\frac{5 \pi}{11}\right) pode ser escrito da forma \left(\frac{r}{s}\right) onde r e s sã inteiros positivos primos entre si. O valor de (r+s) é igual a:

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\cos\!\left(\frac{\pi}{11}\right)\cos\!\left(\frac{2\pi}{11}\right)\cos\!\left(\frac{3\pi}{11}\right)\cos\!\left(\frac{4\pi}{11}\right)\cos\!\left(\frac{5\pi}{11}\right)
e diz que esse valor pode ser escrito na forma \left(\frac{r}{s}\right) com r e s inteiros positivos primos entre si. A pergunta é: qual é o valor de (r+s)?
Informações relevantes dadas:
  • Os ângulos são \frac{k\pi}{11} para k=1,2,3,4,5.
  • Queremos identificar r e s e então calcular r+s.

Passo 2

Vamos usar a identidade trigonométrica do ângulo duplo, que é uma ferramenta simples e muito útil:
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Dessa identidade isolamos \cos x:
\cos x=\frac{\sin(2x)}{2\sin x}.
Aplicando essa fórmula ao produto pedido, para x=\dfrac{k\pi}{11} com k=1,\dots,5, obtemos (fazendo o produto sobre k):
\prod_{k=1}^{5}\cos\!\left(\frac{k\pi}{11}\right) =\prod_{k=1}^{5}\frac{\sin\!\left(\frac{2k\pi}{11}\right)}{2\sin\!\left(\frac{k\pi}{11}\right)} =\frac{\prod_{k=1}^{5}\sin\!\left(\frac{2k\pi}{11}\right)}{2^{5}\prod_{k=1}^{5}\sin\!\left(\frac{k\pi}{11}\right)}.
Então o produto de cossenos é a razão entre o produto das \sin(2k\pi/11) e 2^{5} vezes o produto das \sin(k\pi/11).

Passo 3

Agora precisamos comparar \prod_{k=1}^{5}\sin\!\left(\frac{2k\pi}{11}\right) com \prod_{k=1}^{5}\sin\!\left(\frac{k\pi}{11}\right).
Observe que, para k=1,2,3,4,5,
\left\{\frac{2k\pmod{11}}{11}\pi\right\}_{k=1}^{5}=\left\{\frac{2,4,6,8,10}{11}\pi\right\}.
Usando a identidade \sin(\pi - t)=\sin t, transformamos os termos com índice maior que 5 em termos equivalentes com índice entre 1 e 5:
\sin\!\left(\frac{6\pi}{11}\right)=\sin\!\left(\pi-\frac{6\pi}{11}\right)=\sin\!\left(\frac{5\pi}{11}\right),
\sin\!\left(\frac{8\pi}{11}\right)=\sin\!\left(\frac{3\pi}{11}\right), \qquad \sin\!\left(\frac{10\pi}{11}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{11}\right).
Portanto, como conjunto (ou multiconjunto) os valores \sin\!\left(\frac{2k\pi}{11}\right) para k=1,\dots,5 são exatamente os mesmos valores de \sin\!\left(\frac{k\pi}{11}\right) para k=1,\dots,5, só possivelmente em outra ordem. Conclusão importante:
\prod_{k=1}^{5}\sin\!\left(\frac{2k\pi}{11}\right)=\prod_{k=1}^{5}\sin\!\left(\frac{k\pi}{11}\right).

Passo 4

Substituindo a igualdade do Passo 3 na expressão do Passo 2, obtemos:
\prod_{k=1}^{5}\cos\!\left(\frac{k\pi}{11}\right) =\frac{\prod_{k=1}^{5}\sin\!\left(\frac{k\pi}{11}\right)}{2^{5}\prod_{k=1}^{5}\sin\!\left(\frac{k\pi}{11}\right)}.
As multiplicações por \prod_{k=1}^{5}\sin\!\left(\frac{k\pi}{11}\right) cancelam (são todas não nulas), sobrando:
\prod_{k=1}^{5}\cos\!\left(\frac{k\pi}{11}\right)=\frac{1}{2^{5}}.

Passo 5

Portanto a expressão vale \dfrac{1}{32}. Identificando r=1 e s=32, nota-se que r e s são primos entre si.

Resposta

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