Problema 05. (IIT - JEE - Índia - modificada) Considere:
OSG:DAV/2025
Sabendo que o valor de
pode ser escrito da forma
com
e
números inteiros positivos primos entre si, então o valor de
é igual a:
a) 9
b) 12
c) 15
d) 18
e)21
a) 9
b) 12
c) 15
d) 18
e)21
Passo 1
O enunciado dá cinco quantidades:
Pede-se o valor de
escrito como
com
inteiros positivos primos entre si, e então encontrar o valor de
.]
Passo 2
Observar um ângulo especial:
. Logo
Qualquer produto que contenha esse fator é zero. Verificar quais termos têm esse fator:
-
contém . -
contém . -
contém . -
contém .
Portanto sobra apenas
Passo 3
Vamos simplificar
. Use as identidades de co-ângulo e simetrias:
Substituindo em
:
Os sinais negativos aparecem duas vezes, portanto se anulam.]
Passo 4
Simplificando o produto obtemos
Passo 5
Usar a fórmula produto-para-soma:
Tomando
e
,
Passo 6
Agora precisamos dos valores exatos de
e
.
Defina . Usando a identidade do triplo ângulo,
Defina
com
obtemos
Mas
e
(porque
). Assim
Reescrevendo:
Faça a substituição
. Isso leva a
Recordando a razão áurea
que satisfaz
, verifica-se que
é raiz, porque
Portanto
e assim
Logo
Usando
obtemos
Passo 7
Somando os dois cossenos:
Portanto, da Passo 5,
Passo 8
Voltando a
(Passo 4):
Como
, temos
Aqui
e
são primos entre si, logo
Resposta
21