Problema 05. (IIT - JEE - Índia - modificada) Considere:
\begin{aligned} & a=\cos \left(\frac{\pi}{10}\right) \cos \left(\frac{5 \pi}{10}\right) \cos \left(\frac{9 \pi}{10}\right) \cos \left(\frac{13 \pi}{10}\right) \\\ & b=\cos \left(\frac{\pi}{10}\right) \cos \left(\frac{5 \pi}{10}\right) \cos \left(\frac{9 \pi}{10}\right) \cos \left(\frac{17 \pi}{10}\right) \\\ & c=\cos \left(\frac{\pi}{10}\right) \cos \left(\frac{5 \pi}{10}\right) \cos \left(\frac{13 \pi}{10}\right) \cos \left(\frac{17 \pi}{10}\right) \end{aligned}
OSG:DAV/2025
\begin{aligned} & d=\cos \left(\frac{\pi}{10}\right) \cos \left(\frac{9 \pi}{10}\right) \cos \left(\frac{13 \pi}{10}\right) \cos \left(\frac{17 \pi}{10}\right) \\\ & e=\cos \left(\frac{5 \pi}{10}\right) \cos \left(\frac{9 \pi}{10}\right) \cos \left(\frac{13 \pi}{10}\right) \cos \left(\frac{17 \pi}{10}\right) \end{aligned}
Sabendo que o valor de P=a+b+c+d+e pode ser escrito da forma \left(\frac{m}{n}\right) com m e n números inteiros positivos primos entre si, então o valor de (m+n) é igual a:
a) 9
b) 12
c) 15
d) 18
e)21

Passo 1

O enunciado dá cinco quantidades:
\begin{aligned} & a=\cos\!\left(\frac{\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{5\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{9\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{13\pi}{10}\right),\\[4pt] & b=\cos\!\left(\frac{\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{5\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{9\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{17\pi}{10}\right),\\[4pt] & c=\cos\!\left(\frac{\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{5\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{13\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{17\pi}{10}\right),\\[4pt] & d=\cos\!\left(\frac{\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{9\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{13\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{17\pi}{10}\right),\\[4pt] & e=\cos\!\left(\frac{5\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{9\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{13\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{17\pi}{10}\right). \end{aligned}
Pede-se o valor de
P=a+b+c+d+e
escrito como \dfrac{m}{n} com m,n inteiros positivos primos entre si, e então encontrar o valor de (m+n).]

Passo 2

Observar um ângulo especial: \dfrac{5\pi}{10}=\dfrac{\pi}{2}. Logo
\cos\!\left(\frac{5\pi}{10}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Qualquer produto que contenha esse fator é zero. Verificar quais termos têm esse fator:
  • a contém \cos\!\left(\frac{5\pi}{10}\right)\Rightarrow a=0.
  • b contém \cos\!\left(\frac{5\pi}{10}\right)\Rightarrow b=0.
  • c contém \cos\!\left(\frac{5\pi}{10}\right)\Rightarrow c=0.
  • e contém \cos\!\left(\frac{5\pi}{10}\right)\Rightarrow e=0.
Portanto sobra apenas
P=d.

Passo 3

Vamos simplificar d. Use as identidades de co-ângulo e simetrias:
\begin{aligned} \cos\!\left(\frac{9\pi}{10}\right)&=\cos\!\left(\pi-\frac{\pi}{10}\right)=-\cos\!\left(\frac{\pi}{10}\right),\\[4pt] \cos\!\left(\frac{13\pi}{10}\right)&=\cos\!\left(\pi+\frac{3\pi}{10}\right)=-\cos\!\left(\frac{3\pi}{10}\right),\\[4pt] \cos\!\left(\frac{17\pi}{10}\right)&=\cos\!\left(2\pi-\frac{3\pi}{10}\right)=\cos\!\left(\frac{3\pi}{10}\right). \end{aligned}
Substituindo em d:
\begin{aligned} d&=\cos\!\left(\frac{\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{9\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{13\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{17\pi}{10}\right)\\[4pt] &=\cos\!\left(\frac{\pi}{10}\right)\big(-\cos\!\left(\frac{\pi}{10}\right)\big)\big(-\cos\!\left(\frac{3\pi}{10}\right)\big)\cos\!\left(\frac{3\pi}{10}\right). \end{aligned}
Os sinais negativos aparecem duas vezes, portanto se anulam.]

Passo 4

Simplificando o produto obtemos
d=\cos^2\!\left(\frac{\pi}{10}\right)\cos^2\!\left(\frac{3\pi}{10}\right) =\Big(\cos\!\left(\frac{\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{3\pi}{10}\right)\Big)^2.

Passo 5

Usar a fórmula produto-para-soma:
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A+B)+\cos(A-B)\big).
Tomando A=\dfrac{\pi}{10} e B=\dfrac{3\pi}{10},
\begin{aligned} \cos\!\left(\frac{\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{3\pi}{10}\right) &=\tfrac{1}{2}\Big(\cos\!\left(\frac{4\pi}{10}\right)+\cos\!\left(-\frac{2\pi}{10}\right)\Big)\\[4pt] &=\tfrac{1}{2}\Big(\cos\!\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)\Big). \end{aligned}]

Passo 6

Agora precisamos dos valores exatos de \cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right) e \cos\!\left(\frac{2\pi}{5}\right).
Defina x=\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\cos 36^\circ. Usando a identidade do triplo ângulo,
\cos 3\theta = 4\cos^3\theta -3\cos\theta,
com \theta=36^\circ obtemos
\cos 108^\circ=4x^3-3x.
Mas \cos 108^\circ=\cos(180^\circ-72^\circ)=-\cos72^\circ e \cos72^\circ=2x^2-1 (porque \cos2\theta=2\cos^2\theta-1). Assim
4x^3-3x=-(2x^2-1).
Reescrevendo:
4x^3+2x^2-3x-1=0.
Faça a substituição y=2x. Isso leva a
y^3+y^2-3y-2=0.
Recordando a razão áurea \varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} que satisfaz \varphi^2=\varphi+1, verifica-se que y=\varphi é raiz, porque
\varphi^3+\varphi^2-3\varphi-2=(2\varphi+1)+(\varphi+1)-3\varphi-2=0.
Portanto y=\varphi e assim
x=\frac{y}{2}=\frac{\varphi}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.
Logo
\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.
Usando \cos\!\left(\frac{2\pi}{5}\right)=2x^2-1 obtemos
\cos\!\left(\frac{2\pi}{5}\right)=2\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2-1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.

Passo 7

Somando os dois cossenos:
\begin{aligned} \cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)+\cos\!\left(\frac{2\pi}{5}\right) &=\frac{1+\sqrt{5}}{4}+\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[4pt] &=\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}. \end{aligned}
Portanto, da Passo 5,
\cos\!\left(\frac{\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{3\pi}{10}\right) =\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}.]

Passo 8

Voltando a d (Passo 4):
d=\Big(\cos\!\left(\frac{\pi}{10}\right)\cos\!\left(\frac{3\pi}{10}\right)\Big)^2 =\left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)^2=\frac{5}{16}.
Como P=d, temos
P=\frac{5}{16}.
Aqui m=5 e n=16 são primos entre si, logo
m+n=5+16=21.

Resposta

21

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