(Competição de Olimpíada de Matemática Portuguesa - modificada) Considere a equação
. Podemos afirmar que o número de raízes reais que essa equação possui no intervalo
é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número de raízes reais da equação
no intervalo
. As opções são:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O intervalo de interesse é
. - A equação pode ser reescrita como uma igualdade entre duas funções: o cosseno
e a parábola .
Passo 2
Transformar a equação em uma única função cuja raiz procuramos facilita a análise. Definimos
Assim, as soluções de
são exatamente os zeros de
, isto é, os
tais que
. Explico por que isso é útil: trabalhar com uma só função permite estudar o sinal de
, sua continuidade e monotonicidade, e aplicar teoremas que garantem existência e número de raízes.
Passo 3
Verificar valores fáceis de
dentro do intervalo para ter pistas de onde as raízes podem estar.
Calculemos em
:
Calculemos em
:
pois
. O mesmo vale para
:
Resumo:
e
.
Passo 4
Explicar e aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI). O TVI diz: se uma função é contínua num intervalo e toma valores de sinais opostos em dois pontos desse intervalo, então existe pelo menos um zero da função entre esses dois pontos.
Justificativa de continuidade:
é contínua para todo
e
também; portanto
é contínua em
.
Aplicando o TVI entre
e
: como
e
e
é contínua, existe pelo menos um
tal que
. Logo há pelo menos uma raiz positiva. Pelo mesmo argumento entre
e
existe pelo menos uma raiz negativa.
Até aqui já garantimos a existência de pelo menos duas raízes (uma em
e outra em
). Falta verificar se podem existir mais raízes em cada lado.
Passo 5
Explorar simetria da função para reduzir trabalho. Note que para todo
,
Ou seja,
é uma função par (é simétrica em relação ao eixo
). Consequência prática: raízes aparecem em pares simétricos
, salvo se
. Como
,
não é raiz. Portanto, cada raiz positiva corresponde a uma raiz negativa distinta. Isso confirma que as raízes contadas até agora (uma positiva e sua simétrica negativa) já vêm em par.
Passo 6
Mostrar unicidade da raiz em
usando monotonicidade (derivada). Calcule a derivada de
:
Explicação do que isto significa:
é a taxa de variação instantânea de
. Se
em um intervalo, então
é estritamente decrescente nesse intervalo, o que impede que
cruze o eixo
mais de uma vez ali.
Para
vale
e
, logo
e
. Somando,
Assim
é estritamente decrescente em
. Como
e
, uma função estritamente decrescente só pode ter exatamente uma raiz em
. Não há como ter duas ou mais raízes nesse intervalo porque isso exigiria que
subisse novamente para cruzar o eixo outra vez, o que contradiz a decrescência estrita.
Passo 7
Combinar os resultados para contar todas as raízes no intervalo inteiro:
- Há exatamente uma raiz em
(Passo 6). -
é par, portanto existe exatamente uma raiz simétrica em . -
não é raiz (Passo 3).
Portanto, no intervalo
existem exatamente duas raízes reais de
.
Resposta
(c)