(Competição de Olimpíada de Matemática Portuguesa - modificada) Considere a equação \cos (x)=x^{2}. Podemos afirmar que o número de raízes reais que essa equação possui no intervalo [-\pi, \pi] é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número de raízes reais da equação \cos(x)=x^{2} no intervalo [- \pi,\pi]. As opções são:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O intervalo de interesse é [- \pi,\pi].
  • A equação pode ser reescrita como uma igualdade entre duas funções: o cosseno \cos(x) e a parábola x^{2}.

Passo 2

Transformar a equação em uma única função cuja raiz procuramos facilita a análise. Definimos
f(x)=\cos(x)-x^{2}.
Assim, as soluções de \cos(x)=x^{2} são exatamente os zeros de f, isto é, os x tais que f(x)=0. Explico por que isso é útil: trabalhar com uma só função permite estudar o sinal de f, sua continuidade e monotonicidade, e aplicar teoremas que garantem existência e número de raízes.

Passo 3

Verificar valores fáceis de f dentro do intervalo para ter pistas de onde as raízes podem estar.
Calculemos em x=0:
f(0)=\cos(0)-0^{2}=1-0=1>0.
Calculemos em x=\pi:
f(\pi)=\cos(\pi)-\pi^{2}=-1-\pi^{2}<0,
pois \pi^{2}>0. O mesmo vale para x=-\pi:
f(-\pi)=\cos(-\pi)-(-\pi)^{2}=\cos(\pi)-\pi^{2}=-1-\pi^{2}<0.
Resumo: f(0)>0 e f(\pm\pi)<0.

Passo 4

Explicar e aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI). O TVI diz: se uma função é contínua num intervalo e toma valores de sinais opostos em dois pontos desse intervalo, então existe pelo menos um zero da função entre esses dois pontos.
Justificativa de continuidade: \cos(x) é contínua para todo x e x^{2} também; portanto f(x)=\cos(x)-x^{2} é contínua em [- \pi,\pi].
Aplicando o TVI entre 0 e \pi: como f(0)>0 e f(\pi)<0 e f é contínua, existe pelo menos um c\in(0,\pi) tal que f\text{(c)}=0. Logo há pelo menos uma raiz positiva. Pelo mesmo argumento entre -\pi e 0 existe pelo menos uma raiz negativa.
Até aqui já garantimos a existência de pelo menos duas raízes (uma em (-\pi,0) e outra em (0,\pi)). Falta verificar se podem existir mais raízes em cada lado.

Passo 5

Explorar simetria da função para reduzir trabalho. Note que para todo x,
f(-x)=\cos(-x)-(-x)^{2}=\cos(x)-x^{2}=f(x).
Ou seja, f é uma função par (é simétrica em relação ao eixo y). Consequência prática: raízes aparecem em pares simétricos \pm r, salvo se r=0. Como f(0)=1\neq0, 0 não é raiz. Portanto, cada raiz positiva corresponde a uma raiz negativa distinta. Isso confirma que as raízes contadas até agora (uma positiva e sua simétrica negativa) já vêm em par.

Passo 6

Mostrar unicidade da raiz em (0,\pi) usando monotonicidade (derivada). Calcule a derivada de f:
f'(x) = -\sin(x)-2x.
Explicação do que isto significa: f'(x) é a taxa de variação instantânea de f. Se f'(x)<0 em um intervalo, então f é estritamente decrescente nesse intervalo, o que impede que f cruze o eixo x mais de uma vez ali.
Para x\in(0,\pi) vale \sin(x)>0 e 2x>0, logo -\sin(x)<0 e -2x<0. Somando,
f'(x)=-\sin(x)-2x<0\quad\text{para todo }x\in(0,\pi).
Assim f é estritamente decrescente em (0,\pi). Como f(0)>0 e f(\pi)<0, uma função estritamente decrescente só pode ter exatamente uma raiz em (0,\pi). Não há como ter duas ou mais raízes nesse intervalo porque isso exigiria que f subisse novamente para cruzar o eixo outra vez, o que contradiz a decrescência estrita.

Passo 7

Combinar os resultados para contar todas as raízes no intervalo inteiro:
  • Há exatamente uma raiz em (0,\pi) (Passo 6).
  • f é par, portanto existe exatamente uma raiz simétrica em (-\pi,0).
  • x=0 não é raiz (Passo 3).
Portanto, no intervalo [- \pi,\pi] existem exatamente duas raízes reais de \cos(x)=x^{2}.

Resposta

(c)

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