(Olimpíada de Matemática da China - Modificada) O número de raízes reais da equação
é igual a:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 2024
e)2026
a) 0
b) 2
c) 4
d) 2024
e)2026
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número de raízes reais da equação
.
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- É um polinômio com expoentes
, , e termo constante . - Todos os expoentes são pares (ou seja, todos os expoentes são números pares).
- A questão apresenta alternativas: (a)
, (b) , (c) , (d) , (e) .
Passo 2
Primeiro passo de resolução (escolha do caminho): como todos os expoentes são pares, isso sugere explorar a relação entre
e
. Vamos fazer uma mudança de variável natural e simples para reduzir a complexidade da equação. Isso é uma técnica padrão: quando só aparecem potências pares de
, é útil substituir
(onde
) para trabalhar com um polinômio em
de grau muito menor em termos de paridade.
Passo 3
Aplicando a substituição
(lembrando que
), reescrevemos a equação original em
. Como
, obtemos a equação em
:
Denotemos por
a função polinomial que devemos estudar para
.
Passo 4
Verificações rápidas de valores:
Logo
é uma raiz de
.
Passo 5
Como
, podemos fatorar
de
. Para isso escrevo
como
Sabendo que
e que
, obtemos
Passo 6
Simplificando a expressão entre parênteses:
Definimos então
de modo que
Passo 7
Análise do sinal de
para
:
- Para
temos . - Para
todos os termos são não negativos e o termo garante que a soma é estritamente positiva. Portanto para todo .
Logocom em , o que implica que a única raiz de no intervalo é . Além disso, como , a raiz em é simples.
Passo 8
Retornando à variável original
: a única solução em
é
, isto é
. Portanto as soluções reais para
são
Isso nos dá exatamente duas raízes reais distintas.
Resposta
b)