(Olimpíada de Matemática da China - Modificada) O número de raízes reais da equação x^{2026}-x^{4}+ \mathrm{x}^{2}-1=0 é igual a:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 2024
e)2026

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número de raízes reais da equação \,x^{2026}-x^{4}+x^{2}-1=0\,.
Informações dadas e observações imediatas:
  • É um polinômio com expoentes 2026, 4, 2 e termo constante -1.
  • Todos os expoentes são pares (ou seja, todos os expoentes são números pares).
  • A questão apresenta alternativas: (a) 0, (b) 2, (c) 4, (d) 2024, (e) 2026.

Passo 2

Primeiro passo de resolução (escolha do caminho): como todos os expoentes são pares, isso sugere explorar a relação entre x e x^2. Vamos fazer uma mudança de variável natural e simples para reduzir a complexidade da equação. Isso é uma técnica padrão: quando só aparecem potências pares de x, é útil substituir \,t=x^{2}\, (onde \,t\ge0\,) para trabalhar com um polinômio em t de grau muito menor em termos de paridade.

Passo 3

Aplicando a substituição \,t=x^{2}\, (lembrando que \,t\ge0\,), reescrevemos a equação original em t. Como \,x^{2026}=(x^{2})^{1013}=t^{1013}\,, obtemos a equação em t:
t^{1013}-t^{2}+t-1=0.
Denotemos por \,g(t)=t^{1013}-t^{2}+t-1\, a função polinomial que devemos estudar para t\ge0.

Passo 4

Verificações rápidas de valores:
g(0)=0^{1013}-0^{2}+0-1=-1<0.
g(1)=1^{1013}-1^{2}+1-1=1-1+1-1=0.
Logo \,t=1\, é uma raiz de \,g(t)=0.

Passo 5

Como g(1)=0, podemos fatorar (t-1) de g(t). Para isso escrevo g(t) como
g(t)=\bigl(t^{1013}-1\bigr)-\bigl(t^{2}-t\bigr).
Sabendo que \,t^{1013}-1=(t-1)\bigl(t^{1012}+t^{1011}+\cdots+t+1\bigr) e que \,t^{2}-t=t(t-1), obtemos
g(t)=(t-1)\Bigl(t^{1012}+t^{1011}+\cdots+t+1 - t\Bigr).

Passo 6

Simplificando a expressão entre parênteses:
t^{1012}+t^{1011}+\cdots+t+1 - t = 1 + t^{2}+t^{3}+\cdots+t^{1012}.
Definimos então
h(t)=1 + t^{2}+t^{3}+\cdots+t^{1012},
de modo que
g(t)=(t-1)\,h(t).

Passo 7

Análise do sinal de \,h(t)\, para \,t\ge0:
  • Para \,t=0 temos \,h(0)=1>0.
  • Para \,t>0 todos os termos 1,t^{2},t^{3},\dots,t^{1012} são não negativos e o termo 1 garante que a soma é estritamente positiva. Portanto \,h(t)>0\, para todo \,t\ge0.
    Logo g(t)=(t-1)h(t) com h(t)>0 em [0,\infty), o que implica que a única raiz de g(t) no intervalo [0,\infty) é \,t=1\,. Além disso, como h(1)=1+1^{2}+\cdots+1^{1012}=1+1011=1012\neq0, a raiz em t=1 é simples.

Passo 8

Retornando à variável original \,x\,: a única solução em t\ge0 é \,t=1, isto é \,x^{2}=1. Portanto as soluções reais para x são
x=\pm 1.
Isso nos dá exatamente duas raízes reais distintas.

Resposta

b) 2

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