Complete as células \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}, \mathbf{E} da seguinte tabela de diferenças divididas construída a partir dos pontos acima:
x f(x)
0,25 0,15
0,35 0,25
0,45 0,30
0,55 0,32
0,65 0,37
\begin{tabular}{ l r r r r }
\hline x & Ordem 0 & Ordem 1 & Ordem 2 & Ordem 3 \
\hline 0,25 & 0,15 & & & \
\hline & & 1,0000 & & \
\hline 0,35 & 0,25 & & -2,5000 & \
\hline & & A & C & 3,3333 \
\hline 0,45 & 0,30 & & & \
\hline & & B & D & \
\hline 0,55 & 0,32 & & D & \
\hline & & 0,5000 & & \
\hline 0,65 & 0,37 & & & \
\hline
\end{tabular}

Passo 1

Temos cinco pontos
x_0=0,25,\;f_0=0,15;\quad x_1=0,35,\;f_1=0,25;\quad x_2=0,45,\;f_2=0,30;
x_3=0,55,\;f_3=0,32;\quad x_4=0,65,\;f_4=0,37
e queremos montar a tabela de diferenças divididas até ordem 3, completando as células marcadas por A,B,C,D,E.

Passo 2

As diferenças de ordem 1 são
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f_{i+1}-f_i}{x_{i+1}-x_i}.
Calculando:
f[x_0,x_1]=\frac{0,25-0,15}{0,35-0,25}=1,0000,
A=f[x_1,x_2]=\frac{0,30-0,25}{0,45-0,35}=0,5000,
B=f[x_2,x_3]=\frac{0,32-0,30}{0,55-0,45}=0,2000,
f[x_3,x_4]=\frac{0,37-0,32}{0,65-0,55}=0,5000.

Passo 3

As diferenças de ordem 2 são
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] =\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}.
Logo
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{0,5000-1,0000}{0,45-0,25}=-2,5000,
C=f[x_1,x_2,x_3] =\frac{0,2000-0,5000}{0,55-0,35}=-1,5000,
D=f[x_2,x_3,x_4] =\frac{0,5000-0,2000}{0,65-0,45}=1,5000.

Passo 4

A diferença de ordem 3 entre x_1,x_2,x_3,x_4 é
E=f[x_1,x_2,x_3,x_4] =\frac{f[x_2,x_3,x_4]-f[x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_1} =\frac{1,5000-(-1,5000)}{0,65-0,35} =10,0000.

Resposta

A =0,5000
B =0,2000
C = -1,5000
D =1,5000
E =10,0000

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