(a) Resolva o sistema linear, usando o escalonamento de Gauss com pivoteamento;
(b) Determine as matrizes \mathrm{P}, \mathrm{L} e U , de modo que \mathrm{PA}=\mathrm{LU}.
(c) Determine a terceira coluna da matriz inversa, A^{-1}.
e pede:
(a) resolver por escalonamento de Gauss com pivoteamento parcial;
(b) encontrar as matrizes \mathrm{P},\mathrm{L},\mathrm{U} tais que \mathrm{P}A=\mathrm{L}\mathrm{U};
(c) achar a terceira coluna de A^{-1}.
Para isso, montamos A e \mathbf b, aplicamos pivotamento, registramos multiplicadores em \mathrm{L} e chegamos em \mathrm{U}, depois fazemos retro-substituição e, finalmente, usamos \mathrm{LU} para obter A^{-1}.
Para escolher o pivô da coluna 1, comparamos |2|,|4|,|3|; o maior é 4 (linha 2). Então trocamos linha 1 com linha 2. Isso define a permutação parcial inicial, P_{1}, e já começa a formar \mathrm{P}. Em consequência,
Guardamos L_{21}=m_{21}=\tfrac12 e L_{31}=m_{31}=\tfrac34.
Passo 4
Agora, na coluna 2 (submatriz linhas 2–3), comparamos |-1| e |-2|; o maior é 2 (linha 3). Trocamos linha 2 com linha 3. Isso integra mais uma troca em \mathrm{P} e permuta a primeira coluna de \mathrm{L}. O sistema fica
verificando que \mathrm{P}A=\mathrm{L}\,\mathrm{U}.
Passo 8
Para a terceira coluna de A^{-1}, resolvemos A\,x=e_{3}. Usando \mathrm{P}A=\mathrm{L}\mathrm{U}, fazemos \mathrm{L}y=\mathrm{P}e_{3} e depois \mathrm{U}x=y. \mathrm{P}e_{3}=(0,1,0)^{T} dá