Considere o sistema linear abaixo:
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}-x_{2} & =-14 \\\\ 4 x_{1}-8 x_{3} & =28 \\\\ 3 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3} & =-53 \end{aligned}\right.
(a) Resolva o sistema linear, usando o escalonamento de Gauss com pivoteamento;
(b) Determine as matrizes \mathrm{P}, \mathrm{L} e U , de modo que \mathrm{PA}=\mathrm{LU}.
(c) Determine a terceira coluna da matriz inversa, A^{-1}.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}-x_{2}= -14,\\\\ 4x_{1}-8x_{3}=28,\\\\ 3x_{1}-2x_{2}+5x_{3}=-53, \end{cases}
e pede:
(a) resolver por escalonamento de Gauss com pivoteamento parcial;
(b) encontrar as matrizes \mathrm{P},\mathrm{L},\mathrm{U} tais que \mathrm{P}A=\mathrm{L}\mathrm{U};
(c) achar a terceira coluna de A^{-1}.
Para isso, montamos A e \mathbf b, aplicamos pivotamento, registramos multiplicadores em \mathrm{L} e chegamos em \mathrm{U}, depois fazemos retro-substituição e, finalmente, usamos \mathrm{LU} para obter A^{-1}.

Passo 2

Escrevemos
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 4 & 0 & -8\\\\ 3 & -2 & 5 \end{pmatrix},\quad \mathbf b=\begin{pmatrix}-14\\\ 28\\\ -53\end{pmatrix}.
Para escolher o pivô da coluna 1, comparamos |2|,|4|,|3|; o maior é 4 (linha 2). Então trocamos linha 1 com linha 2. Isso define a permutação parcial inicial, P_{1}, e já começa a formar \mathrm{P}. Em consequência,
PA:\quad \begin{pmatrix} 4 & 0 & -8\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ 3 & -2 & 5 \end{pmatrix},\quad P\mathbf b=\begin{pmatrix}28\\\ -14\\\ -53\end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos abaixo do pivô 4:
- multiplicador para nova linha 2 é
m_{21}=\frac{2}{4}=\tfrac12,
- multiplicador para linha 3 é
m_{31}=\frac{3}{4}=\tfrac34.
Aplicando \text{L2}\gets\text{L2}-m_{21}\,\text{L1} e \text{L3}\gets\text{L3}-m_{31}\,\text{L1}, obtemos
\begin{pmatrix} 4 & 0 & -8 &\big|\\ &28\\\\ 0 & -1 & 4 &\big|\\ &-28\\\\ 0 & -2 & 11 &\big|\\ &-74 \end{pmatrix}.
Guardamos L_{21}=m_{21}=\tfrac12 e L_{31}=m_{31}=\tfrac34.

Passo 4

Agora, na coluna 2 (submatriz linhas 2–3), comparamos |-1| e |-2|; o maior é 2 (linha 3). Trocamos linha 2 com linha 3. Isso integra mais uma troca em \mathrm{P} e permuta a primeira coluna de \mathrm{L}. O sistema fica
\begin{pmatrix} 4 & 0 & -8 &\big|\\ &28\\\\ 0 & -2 & 11 &\big|\\ &-74\\\\ 0 & -1 & 4 &\big|\\ &-28 \end{pmatrix}.

Passo 5

Eliminamos abaixo do novo pivô -2:
- multiplicador para a nova linha 3 é
m_{32}=\frac{-1}{-2}=\tfrac12.
Fazendo \text{L3}\gets\text{L3}-m_{32}\,\text{L2}, alcançamos
\begin{pmatrix} 4 & 0 & -8 &\big|\\ &28\\\\ 0 & -2 & 11 &\big|\\ &-74\\\\ 0 & 0 & -\tfrac32 &\big|\\ &9 \end{pmatrix}.
Armazenamos L_{32}=m_{32}=\tfrac12. Agora temos a matriz \mathrm{U}.

Passo 6

Fazemos retro-substituição em \mathrm{U}\,x= \bigl[\!28,-74,9\bigr]^{T} (já permutado):
-\tfrac32\,x_{3}=9\\ \Rightarrow\\ x_{3}=-6,
-2\,x_{2}+11\,(-6)=-74\\ \Rightarrow\\\ -2x_{2}-66=-74\\ \Rightarrow\\ x_{2}=4,
4\,x_{1}-8\,(-6)=28\\ \Rightarrow\\\ 4x_{1}+48=28\\ \Rightarrow\\ x_{1}=-5.

Passo 7

Reunindo tudo:
\mathrm{P}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \mathrm{L}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \tfrac34 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & \tfrac12 & 1 \end{pmatrix},\quad \mathrm{U}= \begin{pmatrix} 4 & 0 & -8\\\\ 0 & -2 & 11\\\\ 0 & 0 & -\tfrac32 \end{pmatrix},
verificando que \mathrm{P}A=\mathrm{L}\,\mathrm{U}.

Passo 8

Para a terceira coluna de A^{-1}, resolvemos A\,x=e_{3}. Usando \mathrm{P}A=\mathrm{L}\mathrm{U}, fazemos \mathrm{L}y=\mathrm{P}e_{3} e depois \mathrm{U}x=y. \mathrm{P}e_{3}=(0,1,0)^{T}
y_{1}=0,\quad \tfrac34\,y_{1}+y_{2}=1\\ \Rightarrow\\ y_{2}=1,\quad \tfrac12\,y_{1}+\tfrac12\,y_{2}+y_{3}=0\\ \Rightarrow\\ y_{3}=-\tfrac12.
Em seguida
4x_{1}-8x_{3}=0,\quad -2x_{2}+11x_{3}=1,\quad -\tfrac32x_{3}=-\tfrac12,
da última vem x_{3}=\tfrac13, então x_{1}=\tfrac23 e x_{2}=\tfrac43.

Resposta

(a) (x_{1},x_{2},x_{3})=(-5,4,-6).
(b) \displaystyle \mathrm{P}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \mathrm{L}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \tfrac34 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & \tfrac12 & 1 \end{pmatrix},\quad \mathrm{U}=\begin{pmatrix} 4 & 0 & -8\\\\ 0 & -2 & 11\\\\ 0 & 0 & -\tfrac32 \end{pmatrix}.
(c) A terceira coluna de A^{-1} é \displaystyle \begin{pmatrix} \tfrac23\\[4pt]\tfrac43\\[4pt]\tfrac13\end{pmatrix}.]

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