Questão 2: (2,5 pontos) Dado o sistema
\left[\begin{array}{rrr} -5 & 4 & 1 \\\\ 2 & 6 & -3 \\\\ -1 & 5 & -8 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 9 \\\\ 5 \end{array}\right]
Resolva por Gauss-Seidel com X^{(0)}=(1,6625 ; 1,0021 ;-0,2065)^{T} e tolerância \epsilon \leq 5 \times 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{pmatrix} -5 & 4 & 1\\\\ 2 & 6 & -3\\\\ -1 & 5 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\\ 9\\\ 5\end{pmatrix}
por Gauss–Seidel, começando em
X^{(0)} = \bigl(1{,}6625,\;1{,}0021,\;-0{,}2065\bigr)^T
e usando como critério de parada \|X^{(k+1)} - X^{(k)}\|_{\infty}\le 5\times10^{-2}.

Passo 2

Isolamos cada incógnita nas equações originais e obtemos as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel:
-5x_{1}+4x_{2}+x_{3}=-3 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\frac{3+4x_{2}+x_{3}}{5},
2x_{1}+6x_{2}-3x_{3}=9 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=\frac{9-2x_{1}+3x_{3}}{6},
-\,x_{1}+5x_{2}-8x_{3}=5 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=\frac{-5 - x_{1} +5x_{2}}{8}.
Em cada iteração usamos imediatamente os valores mais recentes para as componentes já calculadas.

Passo 3

Primeira iteração k=0\to1:
x_{1}^{(1)}=\frac{3+4(1{,}0021)+(-0{,}2065)}{5}=1{,}36038,
x_{2}^{(1)}=\frac{9-2(1{,}36038)+3(-0{,}2065)}{6}=0{,}94329,
x_{3}^{(1)}=\frac{-5-1{,}36038+5(0{,}94329)}{8}=-0{,}20549.
O erro máximo é
\|X^{(1)}-X^{(0)}\|_{\infty} =\max\bigl\{|1{,}36038-1{,}6625|,\;|0{,}94329-1{,}0021|,\;|-0{,}20549+0{,}2065|\bigr\} =0{,}30212>0{,}05,
logo ainda não paramos.

Passo 4

Segunda iteração k=1\to2:
x_{1}^{(2)}=\frac{3+4(0{,}94329)+(-0{,}20549)}{5}=1{,}31353,
x_{2}^{(2)}=\frac{9-2(1{,}31353)+3(-0{,}20549)}{6}=0{,}95941,
x_{3}^{(2)}=\frac{-5-1{,}31353+5(0{,}95941)}{8}=-0{,}18956.
Agora o erro máximo é
\|X^{(2)}-X^{(1)}\|_{\infty} =\max\bigl\{|1{,}31353-1{,}36038|,\;|0{,}95941-0{,}94329|,\;|-0{,}18956+0{,}20549|\bigr\} =0{,}04685<0{,}05,
atendendo à tolerância.

Resposta

A solução aproximada obtida é
X\approx \begin{pmatrix} 1{,}31353\\\\ 0{,}95941\\\\ -0{,}18956 \end{pmatrix},
após 2 iterações de Gauss–Seidel.

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