Questão 02: Calcule a integral tripla abaixo utilizando a mudança de variável.

Calcule a integral tripla

\int_{0}^{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d y d z d x
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10
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Passo 1

Resumindo, precisamos calcular a integral tripla sobre o paralelepípedo
\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dy\,dz\,dx.
O conteúdo envolvido é integração múltipla e usaremos o Teorema de Fubini para separar em integrais simples.

Passo 2

Pela linearidade da integral, escrevemos
\int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dy\,dz\,dx = \int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2}x^{2}\,dy\,dz\,dx + \int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2}y^{2}\,dy\,dz\,dx + \int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2}z^{2}\,dy\,dz\,dx.

Passo 3

Cada termo separa-se em produto de integrais unidimensionais. Por exemplo,
\int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2}x^{2}\,dy\,dz\,dx = \Bigl(\int_{0}^{2}x^{2}\,dx\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{1}dz\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{2}dy\Bigr).
Calculamos
\int_{0}^{2}x^{2}\,dx=\frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3},\quad \int_{0}^{1}dz=1,\quad \int_{0}^{2}dy=2,
logo esse primeiro termo vale \tfrac{8}{3}\times1\times2=\tfrac{16}{3}.

Passo 4

De modo análogo,
\int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2}y^{2}\,dy\,dz\,dx = \Bigl(\int_{0}^{2}y^{2}\,dy\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{1}dz\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{2}dx\Bigr) =\frac{8}{3}\times1\times2=\frac{16}{3},
\int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2}z^{2}\,dy\,dz\,dx = \Bigl(\int_{0}^{1}z^{2}\,dz\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{2}dy\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{2}dx\Bigr) =\frac{1}{3}\times2\times2=\frac{4}{3}.

Passo 5

Somando as três parcelas obtém-se
\frac{16}{3}+\frac{16}{3}+\frac{4}{3} =\frac{36}{3}=12.

Resposta

12

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