Questão 01: Calcule a integral tripla abaixo utilizando a mudança de variável.
Calcular a integral tripla
\int_{1}^{3} \int_{0}^{x} \int_{0}^{y-1} 2 x d z d y d x
1
5 / 3
8 / 3
2 / 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{x=1}^{3}\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{y-1}2x\;dz\;dy\;dx
usando mudança de variável. A ideia é escolher variáveis que tornem os limites mais simples.

Passo 2

Fazemos a mudança
u = x,\quad v = y - 1,\quad w = z.
Então
x = u,\quad y = v + 1,\quad z = w,
e o Jacobiano é
J = \det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = 1.

Passo 3

Precisamos reescrever os limites em u,v,w. Como
0 \le y \le x e 0 \le z \le y–1
torna-se
0\le v+1\le u \quad\Longrightarrow\quad -1\le v\le u-1,
0\le w\le v.
Além disso 1\le x\le3 vira 1\le u\le3.

Passo 4

A integral em (u,v,w) fica
\int_{u=1}^{3}\int_{v=-1}^{\,u-1}\int_{w=0}^{\,v}2u\;dw\;dv\;du.

Passo 5

Integramos primeiro em w:
\int_{0}^{v}2u\,dw = 2u\,v.
Em seguida em v:
\int_{v=-1}^{\,u-1}2u\,v\,dv =2u\Bigl[\tfrac{v^{2}}{2}\Bigr]_{-1}^{\,u-1} = u\bigl((u-1)^{2}-(-1)^{2}\bigr) = u\bigl(u^{2}-2u\bigr) = u^{3}-2u^{2}.

Passo 6

Por fim, integramos em u:
\int_{1}^{3}(u^{3}-2u^{2})\,du =\Bigl[\tfrac{u^{4}}{4}-\tfrac{2u^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{3} =\bigl(\tfrac{81}{4}-18\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{2}{3}\bigr) =\tfrac{9}{4}+\tfrac{5}{12} =\tfrac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

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